我们为啥学解析几何
时间：2022-09-24 02:24:00
本文所述，是我根据亲历的真人真事整理而成.几年前，一群同学在“解析几何初步”的学习过程中，与我互相“切磋”，共同探索.在此过程中，他们越来越喜欢解析几何了，也越来越感觉学习有方了，我也感到教学相长的乐趣.大家现在正学“解析几何初步”，我不能不向你诉说解几学习中的那些事儿.
第一幕
背景 某校高一学生即将学习“解析几何初步”了，倍感新奇，开始学习不久，他们又充满疑惑：我们为什么要学习解析几何？于是他们(以下简称生)走进D老师(以下简称D)工作室，准备相互“切磋”一下.
D 欢迎大家!同学们开始学习解析几何了，感觉怎样？一定是别有一番风味吧？可喜可贺啊!今天是来给老师报喜的吧？
生 老师，别提啦，我们正纳闷呢.通过浏览课本，我们发现学习的内容全是“直线与圆”，对此我们不感兴趣.
D 为什么？
生 不是吹牛，我们在初中学过了这些内容，而且学得很好，什么直线、圆、切线、弦长……全不在话下.到了高中
还有必要再来一遍吗？
D 问题提得好!不弄清这一点，学习打不起精神，学习效果也会很差.今天我们好好聊聊.
(D老师随手画出下列图形)
D 请看，图1中的两条直线有何位置关系？图2中的直线和圆相切吗？
生 图1中两条直线平行，图2中直线和圆相切.
D 为什么呢？
生 我看出来的，应该是没有错的.
D 你怎么看出来的？
生 我用眼睛看出来的.
(满堂笑声)
D 你是用肉眼看出来的吧，能保证正确吗？数学上“眼见不为实”的例子还少吗？
生 那……那我就说不明白了.
D 图3中点P到直线的距离是多远？你能求出来吗？
生 我可以用尺子量.
D 好方法!可度量一般都是有误差的.
生 那怎么办呢？
(众学生窃窃私语，并纷纷摇头，然后把目光投向了D老师)
D 看来仅靠平面几何知识，有些事情还真说不清，必须另辟蹊径，我们还是从上述的讨论入手.
先看图1，当我们把两条直线放在坐标系中，两直线是否平行，只要看它们的斜率是否相等，这是准确无误的.即我们可以“算”出平行关系，比起原来的看，显然要可靠得多.
生 是这样的.
D 再看图2，在坐标系内，我们可以根据圆的方程，求出圆的半径r，计算圆心到直线的距离d，比较r与d的大小，就可以判定直线与圆的位置关系.也就是说，是否相切是可以“算”出来的.
生 点到直线的距离也有公式.
D 这比测量肯定要精确吧.
生 当然……哦，我们明白了——解几还真了不得，我们要好好学习.
第二幕
背景 在D老师的启发下，同学们对解几还真有了兴趣，学习也积极起来.但D老师和同学们都觉得上次“切磋”意犹未尽，他们第二次又坐下来继续上一次的话题.不过，这次是D老师主动出击：
D 回想当初做平面几何题，你们印象最深的是什么？
生 思路不易想到，辅助线有时不会作.
D 是啊，你们问我平面几何题，我也不能保证马上能做出来！学了解析几何，对于很多平面几何问题，你们就不会束手无策了！
生 啊！解析几何这么厉害！它到底有什么特别的地方？
D 其实也不神秘，就是把几何问题“算”出来.
生 我……我还是不太理解您的意思.能再给我们举个例子说说吗？
D 当然可以.我们不妨来证明一个结论：“三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一半.”
生 我们已在平面几何中证明过这个结论.当时要添加辅助线，证明并不是很容易.
D 现在我们用解析法证明.
第一步，建立坐标系，把图形放在坐标系中，把点定位(点有了坐标)，如图4，想一想，为什么这样建立坐标系？
第二步，把几何问题转化为代数问题，如表1：
几何问题代数运算
证明：EF∥AB计算：EF， AB的斜率，并验证二者相等
证明：EF=12AB计算：EF， AB的长，并验证EF=12AB
可见，转化为代数计算，证明思路要简单许多.
第三步，用代数研究的结果解释几何对象，给出结论.比如，两直线的斜率相等，即意味着它们平行.
生 噢……是有其特别的地方.几何证明常需绞尽脑汁，看来，学了解析几何就有法可循了，只要算一算就行啦！
D 建立坐标系后，图形就对应着数(式)，数也对应着图形，你们能举出一些例子吗？
生 直线对应着二元一次方程，从直线的斜率(数)可以看出直线的倾斜的程度.
生 给定两条直线的方程，我可以判定二者的位置关系，当它们相交时，还可以通过解方程组求得它们的交点坐标.
D 很好!建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，再用代数的工具研究并获得结论，再把研究的结果还原到几何中的结论.这一过程即如图5所示：
生 哦……这好像是“曲线救国”啊.
第三幕
背景 随着学习的深入，同学们尝到了甜头，但还不足，他们又一次约见了D老师，想探讨更深层次的问题.这一次的讨论，切入点也换成了“数借形”.
D 我们还从方程谈起.
比如，方程2x-2y-3=0，以看作一条直线，x2+y2=1是中心在原点(位置)、半径为1(大小)的圆.我们可以借助直线和圆的方程判断直线和圆的位置关系.如果在图2中建立直角坐标系，直线和圆的方程分别就是2x-2y-3=0和x2+y2=1,那么，怎样判断它们究竟是否相切呢？
