改进的奇异摄动自适应移动网格方法

摘要：用等分弧长函数来控制网格剖分，用迎风有限差分格式来求解一类奇异摄动两点边值问题的自适应算法。本文用了的数值试验证明了算法的可行性和高效性。

关键词:奇异摄动；自适应网格；迎风有限差分格式；等分原则

中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)06-10ppp-0c

A Improved Adaptive Grid Method for a Singularly Perturbed Problem

LI Li

(Information department of Hunan business college, Changsha 410205,China)

Abstract: In this paper, the discrete solution are generated by an upwind finite difference scheme and the grid is formed by equidistributing a monitor function based on arc-length. A improved numerical experiment proved that the algorithm is feasible and efficient.

Key words: singular perturbation problems; adaptive mesh; upwind finite difference; equidistribution principle.

1 引言

近年来，研究带边界层对流占优的对流扩散问题移动网格算法收敛性分析问题的网格构造主要有两种：特殊网格（如B-type meshes, S-type meshes）、自适应网格。对比之下，在自适应网格方面的工作甚少。

我们考虑如下奇异摄动的两点边值问题的数值近似解法：

这里0

对于(1)形式的对流扩散方程问题，我们已有一些自适应网格方面的结论。这些都是从控制函数的等分上所得到的结果[1,4,5,6]。Qiu, Sloan 和Tang[6]研究基于半离散方法的收敛速度问题，这种方法指出精确解被应用于控制函数中。这就使得分析变得简化，并且能够在解区间上给出一个清晰的网格剖分结构。他们证明了对于任意给定的γ∈[0,1]，总存在一个不依赖于ε和N的正常数C(γ)，使得

其中N是剖分节点的总数，并且足够大，ll03.tif 是数值近似值。本文的主要目的是用一种改进的数值试验方法证明利用o(N-1lnN)替代（2）式的右端从而提高结论（2）的一致收敛性的可行性。其改进之处在于剖分节点构造上的工作有了大大的简化。

2 问题描述

我们考虑的是一种特殊的奇异摄动两点边值问题的数值近似解法。方程如下所示：

其中ε是一个很小的正数，且0

其中所用到的算子如下面定义：

在 [0,1]上，数值网格由等分弧长函数M(x)=??1+(u'(x))2给出，并且产生一个映射x=x(ξ)：

其中L是u在[0,1]上的弧长。这种方法叫做半离散方法。在这篇文章中我们运用数学试验讨论这种数值方法的误差分析等。

在论文中，C代表一个普通的独立于ε以及网格剖分的常数，并且在不同的地方可以取不同的值。这些工作的主要结果由以下定理给出[7]。

定理1令u(x)为（3）的一个精确解，且令ll08.tif为由（6）所定义的网格上的有限差分格式（4）和（5）所得到的，那么存在一个不依赖于ε和N的正常数C，使得：|u(xi)-uNi|≤CN-1lnN，0

3 数值试验

3.1 求真解表达式?

微分方程

的真解表达式为：ll10.tif

3.2 用迎风格式进行离散?

我们运应迎风格式得到：

此时系数矩阵A以及矩阵B和U分别为：

那么方程（9）化为：

AU=B，

3.3 构造剖分节点

要求出方程的解，关键在于构造出剖分节点，从而得到hi。它不同于我们平时一般所采取的方法：平均剖分。它是由一个控制函数（6）来给出。其中ξ是计算坐标，x是物理坐标。这个式子所代表的意义就是：把计算坐标上等分弧长的点映射到物理坐标上，而得到的这些物理坐标上面的点就不一定是等分的了。那么我们如何得到一组合适的剖分节点呢？

以前的做法是将（6）两端积分，再用一种迭代的方法，通过比较每一步的弧长是否符合等分原则来确定剖分节点。此法可以验证定理1，但是在实施上很烦琐。

在这里，我们采用经典的四阶Runge-Kutta方法，即对一阶微分方程（6）用如下格式进行计算：

其中f(ξ,x)指的是（6）的右端函数。这样能够用较以前更加简洁的算法轻松快捷地算出所要节点，且能够达到很好的计算效果。

3.4 求近似解

最后用追赶法求得（9）的解，也即离散点的值{uNi}。

4 分析数据

下面给出的是真解与近似解在剖分节点数不同和摄动系数取不同值时的平均误差。

参考文献：

[1]G.M.Beckett and J.A.Mackenzie, Convergence analysis of finite difference approximations on equidistributed grids to a singularly perturebed boundary value problem, Appl. Numer. Math.,2000(35):87-109.

[2]N.Kopteva, Maximum norm a posteriori error estimates for a one-dimensional convection-diffusion problem, SIAM J.Numer. anal.,2001(39):423-441.

[3]N.Kopteva, M. Stynes, A robust adaptive method for quisi-linear one-dimensional convection-diffusion

problem, SIAN J. Numer. Anal.,2001(39):1446-1467.

[4]Y.Qiu and D. M. Sloan, Analysis of difference approximations to a singularly perturbed two-point

boundary value problem on an adaptively generated grid, put. Appl.Math.,1999(101):1-25.

[5]Y.Qiu, D.M.Sloan and T.Tang, Numerical solution of a singularly perturbed two-point boundary value problem using equidistribution: analysis of convergence,J. Comput. Appl.Math.,2000(116):121-143.

[6]陈艳萍.Uniform pointwise convergence for a singularly perturebed problem using arc-length

equidistribution, J. Comput. Appl. Math., 2003(159):25-34.

[7]李桂成.计算方法[M].北京：电子工业出版社,2005.

收稿日期：2008-01-12

作者简介：李丽（1981-），女，湖南醴陵人，硕士研究生，助教，研究方向：偏微分方程数值解法及应用。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”