常利率下带投资和干扰的再保险风险模型研究

【摘要】本文研究了在常数利息力和常数投资回报率的情况下，考虑投资、再保险因素以及干扰项的影响，设定保险公司的保单数和索赔次数服从负二项分布，建立了一类带投资和干扰项的再保险风险模型。利用概率统计和保险精算的方法研究了该模型的相关性质，给出了该模型破产概率的一个显式表达式，同时求出了破产概率的Lundberg上界值。由于模型的引入更加符合实际，该研究结果对于保险公司的经营和决策具有一定的指导意义。

【关键词】破产概率 常利率 再保险 负二项分布 Wiener过程 Lundberg上界

目前，在保险风险理论中，特别是在非寿险的精算理论研究中，有许多关于破产问题的研究都是基于经典风险模型提出和建立的，即：

U（t）=u-ct+S（t）

式中，u（u≥0）为保险公司的初始准备金，c（c>0）为常数，表示保险费率，S（t）是到t时刻为止的总保险赔付额。

在对保险风险模型的研究和推广中，文献[1-3]研究了利率因素的影响，文献[4-5]研究了再保险因素的影响，文献[6-7]研究了干扰项因素的影响，文献[8-11]研究了保险公司自身投资的影响.在保险公司的实际经营活动中，保险公司需要综合考虑利率、投资和再保险等方面的许多因素来选择经营战略，保持经营的稳定性、连续性和盈利性。

本文在上述文献的启发下，同时考虑了利率、投资和再保险因素的多重影响，在索赔额服从负二项分布的情形下，利用微分方程和递推法得到了连续时间风险模型的破产概率的显式表达式及其Lundberg上界值。

一、模型的建立

定义1-1 设u>0，c>0定义在同一完备概率空间（Ω，F，P）上，给定：

第一，u是保险公司的初始资本，c为单位时间内收取的保费费率，cR为单位时间内原保险人支付给再保险人的费率，i为常数利息率，j为单位时间内的投资收益率，F为根据初始因素而得到的应用于投资的资金，均大于零。

第二，Xk表示第k次的索赔额，且{Xk，k≥1}为取正值的独立同分布随机变量序列，N（t）表示时间段（0，t]内赔付总次数服从参数为（α，p）的负二项分布。

第三，Yk=Y（Xk）表示加入再保险后，原保险人承担的风险函数，以下记My（r）表示索赔额Yk=Y（Xk）（k≥1）的矩母函数.显然，在这里，0≤Yk

第四，M（t）表示时间段（0，t]内保险公司收到的保单数服从参数为（β，q）的负二项分布。

第五，W（t）是一个标准的Wiener过程，它表示利率波动、不确定收益和支出等因素，其中σ为干扰因子。

为了讨论方便，有如下假设：

①{Xk，k≥1}，{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}，{W（t），t≥0}相互独立

②为保证保险公司稳定经营，假设单位时间内平均保费收入大于平均理赔额，即ES（t）>0。

则t时刻保险公司的盈余为：

其中，

定义1-2 破产时刻为T=inf{t：U（t）

二、主要结果及证明

定理2-1 盈余过程{U（t）≥0}具有平稳独立增量性

证明：令0≤t0≤t1≤...≤tn，则

和Y（XN（t2））-Y（XN（t1）），Y（XN（t3））-Y（XN（t2）），Y（XN（tn））-Y（XN（tn-1）），

是相互独立的，因此，{U（t），t≥0}是独立增量过程

又因为

对一切t≥0，M（t+m）-M（t），SR（t+m）-SR（t），W（t+m）-W（t）分别具有相同的分布，所以，对一切t≥0，U（t+m）-U（t）也有相同的分布，因而{U（t），t≥0}是平稳独立增量过程。

综上所述，盈余过程{U（t），t≥0}具有平稳独立增量性。

定理2-2 对于盈利过程{S（t），t≥0}，存在函数g（r），r≥0，使得E[e-rs（t）]=etg（r），并且函数g（r）=0，存在唯一正解R，称为调节系数。

证明：

即g（r）为凸函数，故方程g（r）=0至多有两个解，r=0为其平凡解.

因为当r充分大时，有g'（r）>0，因此，方程g（r）=0有且仅有一个正解，记为R，定理由此得证。

定理2-3 考虑盈余过程{U（t），t≥0}，其最终破产概率为：

其中R为调节系数.

当t∞时，（2）式右边第一项为E[e-RU（t）|T≤∞]ψ（u），若是可以证得（2）式右边第二项（记为I2）趋于零，则定理得证.因为对于给定的T，U（T）与S（t）-S（T）独立，于是

对充分大的t，将展开I2，有

由此定理得证，此式为该风险模型破产概率的精确显式表达式。

定理2-4 考虑盈余过程{U（t），t≥0}，其最终破产概率的一个Lundberg上界为：

其中R为调节系数.

证明：

由定理2-3可知：

定理得证，这是该风险模型破产概率的一个Lundberg上界.

三、结束语

本文围绕经典风险模型盈余过程U（t）=u-ct+S（t）进行探究，并将该模型进行了合理的推广，考虑并引入了利率、投资、再保险因素以及干扰项的影响，将原始模型中的保费收入以及索赔额分布均进行了改进，使得改进后的模型更加符合实际且更具有一般性.本文求出了该模型的破产概率表达式和Lundberg上界，保险公司可以根据该理论来研究和确定初始资本、投资资本、保费费率以及再保险的规模，从而更好的帮助保险公司经营和决策。

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作者简介：邓皓天（1994-）男，汉族，湖南怀化人，上海财经大学公共经济与管理学院投资系本科生，主要研究方向为房地产与金融投资。