高考数学必做解答题――平面向量与解三角形

1 平面向量与平面几何和解析几何

（ ）必做1 在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若 =sinθ・ ， =cosθ・ ，其中θ∈0， .

（1）求sin2θ的值；

（2）记OMN的面积为S ，平行四边形OABC的面积为S，试求 的值.

破解思路 此题既涉及向量的加减运算，又综合了三角公式化简，是向量与三角、解三角形的交汇题，彰显向量在解平面几何问题时的工具价值.

精妙解法 （1）由题意可得 = = - ，

所以 = - = -（1+sinθ）・ .

又 = - =cosθ・ -sinθ・ ，M，N，C三点共线，

所以 = ，则sinθ-cosθ=sinθ・cosθ ①.

①式两边平方，得1-2sinθ・cosθ=sin2θ・cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.

解得sin2θ=2 -2或-2 -2（舍去）.

（2）由题意得S = ・ ・sin∠AOB= sin2θ・S = S，即 = .

极速突击 重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点.

（ ）必做2 如图1，已知椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.

破解思路 先由解析几何的知识得到向量的坐标，进而借助向量的数量积的坐标运算完成解答.

精妙解法 由已知可得A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8.

设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M2， .

由M在椭圆上，得t=6，故点M的坐标为M（2，3）.

所以 =（-6，-3）， =（2，-3）， ・ =-12+9=-3，

所以cos∠AMB= = =- ，

即∠AMB的余弦值为- （用余弦定理也可求得）.？摇

极速突击 用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，值得同学们重视.

金刊提醒

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量可转换性解决问题.

2 平面向量与三角函数

（ ）必做1？摇 已知向量a=（2cos2x， ）， b=（1，sin2x），且函数f（x）=a・b-1，g（x）=b2-1.

（1）求方程g（x）=0的解集；

（2）求函数y=f（x）的最小正周期及单调增区间.

破解思路 （1）利用平面向量的模长公式，求出函数g（x），解三角方程，得方程g（x）=0的解集.

（2）利用平面向量的数量积公式，求出函数f（x），利用倍角公式与辅助角公式，化简函数f（x），再利用正弦函数的性质，即可得结论.

精妙解法 （1）g（x）=b2-1=sin22x，由g（x）=0得sin2x=0，所以2x=kπ（k∈Z），即x= （k∈Z），故方程g（x）=0的解集为xx= （k∈Z）.

（2）f（x）=a・b-1=（2cos2x， ）・（1，sin2x）-1=2cos2x+ sin2x-1=cos2x+ sin2x=2sin2x+ ，所以函数f（x）的最小周期T= =π.

由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ（k∈Z），得- +kπ≤x≤ +kπ（k∈Z）. 所以函数f（x）的单调增区间为- +kπ， +kπ（k∈Z）.

极速突击 本题把平面向量与三角函数自然融合. 平面向量的数量积、模、坐标表示是解题的突破口，有关三角函数的恒等变换是求解的桥梁.三角函数的图象和性质的应用是求解的关键，如y=Asin（ωx+φ）（Aω≠0）的单调区间的探求，一般先考虑A，ω的符号，再将ωx+φ视为一个整体，利用y=sinx的单调区间，整体运算，解出x的取值范围即可.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx（x∈R）.

（1）当x∈0， 时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3， f（C）=2，若向量m=（1，sinA）与向量n=（2，sinB）共线，求a，b的值.

破解思路 （1）利用倍角公式与辅助角公式，化简函数f（x），再利用正弦函数的单调性，求函数的单调递增区间.

（2）利用f（C）=2，得角C的三角方程，求出角C的值；由向量m与向量n共线，得sinA与sinB的关系式，利用正弦定理，转化为边a，b的方程；再利用余弦定理，得边a，b的方程，从而联立方程可求出边a，b的值.

精妙解法 （1）f（x）=2cos2x+ sin2x=cos2x+ sin2x+1=2sin2x+ +1. 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ（k∈Z），解得kπ- ≤x≤kπ+ （k∈Z）. 因为x∈0， ，所以f（x）的递增区间为0， .

（2）由f（C）=2sin2C+ +1=2，得sin2C+ = . 而C∈（0，π），所以2C+ ∈ ， ，所以2C+ = π，得C= .

因为向量m与向量n共线，所以 = ，由正弦定理得 = ①；

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos ，即a2+b2-ab=9 ②.

联立方程①②，解得a= ，b=2 .

极速突击 有关平面向量、解三角形、三角函数相融问题的求解关键：一是活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是平面向量的坐标是数形转化的载体，会利用“方程的思想”破解向量共线（或垂直）求参问题. 有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形.

金刊提醒

三角形中的综合题涉及的知识点多，综合性强，解题时对知识和能力都有较高的要求. 在解题时要注意分析题目的已知和求解目标之间的关系，确定合理的解题方案，防止漫无目的进行解答. 三角形的三个内角是与三角形的内角和联系在一起的，当由其中的一个角的三角函数值求另外角的三角函数值时，就要受到三角形内角和的范围的制约，在解题中要充分注意这个制约条件，不要出现扩大角的范围的现象.

3 解三角形与实际问题

（ ）必做1 如图1，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向2 千米处.

图1

（1）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距 千米的点P处， 记∠PBC=α，求sinα的值；

（2）游客甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲、乙同时出发，甲的速度为1千米/时，乙的速度为2千米/时. 若甲、乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问：有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据： ≈2.2， ≈3.9 ）

破解思路 （1）在RtABC中，AB=2，BC=2 ，从而可求出角C；在PBC中，利用余弦定理求出PC的值，再利用正弦定理求sinα的值.

（2）把时间分为两类：0≤t

精妙解法 （1）在RtABC中，因为AB=2，BC=2 ，所以∠C=30°.

在PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC・PC・cos30°=BP 2，即12+PC2-2×2 ×PC× =7，化简得PC2-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍）.

在PBC中，由正弦定理得 = ，即 = ，所以sinα= .

（2）RtABC中，BA=2，BC=2 ，AC= =4. 设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4-t.

①当0≤t

图2

在AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4-t）2+（2t）2-2×2t×（4-t）×cos60°=7t2-16t+16. 令MQ>3即MQ2>9，得7t2-16t+7>0，解得t< 或t> ，所以0≤t< .

②当1≤t≤4时，乙在景点B处，如图3所示.

图3

在ABM中，由余弦定理得MB2=（4-t）2+4-2×2×（4-t）×cos60°=t2-6t+12. 令BM>3即BM2>9，得t2-6t+3>0，解得t3+ . 而1≤t≤4时，不合题意.

综上所述，当0≤t< 时，甲、乙间的距离大于3千米.

又 ≈0.6，故两人不能通话的时间大约为0.6小时.

极速突击 破解此类以实际应用为背景的三角形问题的关键：一是准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；二是根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；三是将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.

误点警示 求解第（2）问时没有对时间t进行分类讨论，想当然只做了第一种情形，虽然最终答案正确，但解题过程出错.

（ ）必做2 如图4，在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示. 已知∠ACD=60°，路宽AD=24 m，设灯柱高AB=h m，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）.

（1）求灯柱的高h（用θ表示）；

（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记所用材料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值.

精妙解法 （1）因为∠ABC=120°，∠ACB=θ，所以∠BAC=60°-θ，因为∠BAD=90°，所以∠CAD=30°+θ.

因为∠ACD=60°，所以∠ADC=90°-θ.

在ACD中，因为 = ，所以AC= =16 ・cosθ.

在ABC中， = ，所以AB= =16sin2θ，即h=16sin2θ.

（2）在ABC中，因为 = ，所以可得BC= =32cosθsin（60°-θ）=8 +8 ・cos2θ-8sin2θ，则S=AB+BC=8 +8 ・cos2θ+8sin2θ=8 +16sin（2θ+60°）.

因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°. 所以当θ=45°时，S取得最小值为（8 +8）m.

金刊提醒

正弦定理、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，高考对其考点是在解三角形中的工具性作用及结合三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.其得分秘籍：

一是脱掉应用的外衣. 解三角形在实际生活中的应用，应能脱掉应用外衣，把所求的问题转化为在两个或者三个三角形中根据两个定理求解三角形的一些元素，把求解的目标归入到一个可解的三角形中.

二是适时进行转化. 对三角形与其他知识相交汇的问题，需要我们理解题意，能从各种相交汇的问题中“抽取”出它们之间的数量关系，在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.