直线方程问题的解法探究

众所周知，研究数学问题可以从多种角度去研究，也就是所谓的一题多解、一题多变、多题一解.其实解决数学问题时可以用一种“格式化”的解法来解，同时也可以用多种方法来解决，这就是所谓的解法多样化.日前，我在教学中碰到了这样的问题：（1）求过点（-3，4）且在坐标轴上的截距相等的直线l的方程；（2）求过点（-3，4）且在坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.这个问题是用“格式化”的解法来解，还是采用多种解法来解呢？下面我做一下分析.

解：（1）方法一：①设直线的方程为y=kx，k∈R，将点（-3，4）代入直线方程，可得k=-43，所以直线方程为y==-43x；②因为截距相等，而且此时在x轴、y轴上的截距不能为零，所以可设直线l的方程为xa+ya=1，将点（-3，4）代入直线方程，可得a=1，所以直线方程为x1+y1=1，即x+y-1=0.

综上可得，所求的直线方程为：y=-43x或x+y-1=0.

采用截距式方法求解时应要注意在x轴、y轴上的截距是否有一个为零，有一个为零时截距式的直线方程形式就不可以用.而此题的直线能否过直角坐标系的原点，大部分学生不太清楚，很容易在此失分.这就是这种方法的不足之处.

方法二：因为过点（-3，4）的直线在坐标轴上有截距，所以直线的斜率不可能不存在，又因为在x轴、y轴上都有截距，所以直线的斜率不可能为0.设直线的方程为y=kx+b（k≠0），直线过点（-3，4），将点（-3，4）代入直线方程得4=-3k+b ①

令x=0，则y=b；令y=0，则x=-bk，在坐标轴上的截距相等，b=-bk ②

由①②解得：b=0时，k=-43；k=-1时，b=1.

所求的直线方程为：y=-43x或x+y-1=0.

在解②式的过程中，可能会有很多学生把b=0这一解弄丢，所以在解方程时，要注意当两边同时约掉一个数的时候要看它是否能为零，这是这种方法易错的地方.

点评：第一种方法需要分类讨论.分类讨论思想是高考必考的思想之一，但很多学生难以想到用分类讨论的思想，总会在用截距式方法求直线方程时想不到它的截距为零的情形，特别容易发生错误；而第二种方法――斜截式，依题意需要知道截距，就是求在x轴、y轴上的截距，在求截距的过程中就能够清楚知道斜率为什么不能为零（因为它做了分母）.但这种方法比较遗憾的是方程很难解，在解方程时容易发生错误.我认为这两种方法各有千秋.如果学生解方程的能力比较强的话，建议用第二种方法，这样少解的几率就很小了；反之，可以选择第一种方法，至少能得些分数.

（2）方法一（需要考虑三种情况）：

①经过直角坐标系的原点，根据（1）可得直线方程为y=-43x.

②截距相等且不为零，根据（1）可得直线方程为x+y-1=0.

③截距互为相反数且都不为零，所以可以设直线的方程为xa+y-a=1，将点（-3，4）代入直线方程，可得y-x-7=0.

综上可知，直线方程为y=-43x或x+y-1=0或x-y+7=0.

方法二：设直线方程为y=kx+b（k≠0），根据题意可知|b|=|-bk| ③

由③得，|b|=0或|k|=1，结合①可得b=0，k=-43；k=1，b=7；k=-1，b=1.

综上可知，直线方程为y=-43x或x+y-1=0或x-y+7=0.

点评：第一种方法，学生存在的问题是经过坐标原点的会少，截距互为相反数也会少，如何去设截距互为相反数的方程形式是个难点.而第二种方法，还是方程的解的问题，变量已经设出来了，就差解方程了.

综上可知，在解决直线方程问题时，我们应根据题意来设直线方程的形式，并选择合适的方法进行求解，这样会减少计算的量，减轻学生的负担.所以我们应教育学生在解题的过程中将多样化解法和“格式化”解法相结合，从而更好地解决遇到的数学问题.