巧用圆心,柳暗花明

1.背景

高三数学一轮复习已接近尾声，本以为学生解题水平达到了一个较高层次，但昨天作业中的一道题却让我内心纠结，本来以为“扫盲”的题，却出现了很高的错误率.问题究竟出在哪里呢？于是，我决定在课堂上和同学们共同探讨错误的根源.

2.课堂对话实录

问题1.由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）+y=1引切线，则切线长的最小值为?摇 ?摇?摇?摇.

生1：因为要求切线长最小，所以猜想当切线与直线垂直时距离最小，故计算得出切线长最小值为2.

师：你的猜想有没有根据呢？

生1：反正感觉有垂直就会取到最小值.

生2：我的结果和他不一样，我这样做的：设直线上任意一点A（x，x+1），则切线长为==，故当x=1时，切线长的最小值为.

师：大家觉得怎样？运用了怎样的思想方法？

这时许多同学纷纷点头，感觉有理有据，是典型的利用函数思想方法求最值.

师：生1的方法虽然有问题，但能不能修改呢？

生3：我觉得可以先求圆心到直线的距离.由题意知，要使切线长最小，只要使该点到圆心距离最小，即为圆心到直线距离.如图1，圆心到直线距离d==2，故切线长为=.

师：这样解题的依据是什么？

绝大部分同学恍然大悟，异口同声：圆切线的几何性质！

师：有谁能比较一下刚才的两种解法？

生1：我知道自己错在什么地方了，不能凭感觉瞎猜，解题要有依据.我比较两种解法，后者突出了圆的几何性质，把原来直线上的动点与圆上的动点这两个动点距离问题转化为定点到定直线的距离，使得解法更直观更简洁.

师：通过刚才的一番讨论，我们终于搞清了错误的原因.在本题中，主要是突出了圆心的重要作用，此种方法的应用还有很多，请看如下问题.

问题2.已知圆C：（x+2）+y=4，相互垂直的两条直线l、l都过点A（-1，0）.l交C于E，F两点，l交C于G，H两点，

（1）求四边形EGFH面积的最大值；

（2）求l、l被圆C所截得弦长EF与GH之和的最大值.

三分钟后，生4举手求助，看到他的草稿纸密密麻麻，于是拿到实物投影下.

同学们惊呼：哇！

原来他是设直线斜率联列方程，用代数方法求弦长，一番计算后，没有信心做下去了.

师：看来不是所有的题用函数思想都能顺利解决的.不妨作图观察一下，能否借助于圆的几何性质，参照问题1的方法来求解呢？

生5：刚才是切线长，现在是弦长，不一样啊？

师：弦长可以转化为什么线段的长度？

生5：难道又是圆心到直线的距离？

生6：设圆心C到l的距离为d，到l的距离为d，弦长分别为L，L，利用垂径定理和勾股定理得（）=r-d，（）=r-d.这样我就把动弦长转化为定点到直线的距离了，可是……

师：很好，思路不错.可是也在动，有什么是不动的吗？

生5：由图2看出，两个垂足和圆心及定点构成矩形，且对角线长度恒定，所以必定有：d+d=CA=1，故（）+（）=2r-（d+d）=8-1=7，即L+L=28.设四边形EGFH面积为S，则S=LL，由于L+L=28，利用基本不等式可得LL≤=14，故四边形EGFH面积最大值为7.

师：大家感觉怎样？

生6：总的来说还是“化动为定”，不过这里还运用了基本不等式的知识.

师：好的，所以我们在二轮复习中要加强对知识之间相互联系的认识……

话音未落，生7又举起了手.

生7：我第二问也做好了.要求L+L的最大值，又L+L=2（+）=2（+），其实也是用基本不等式≤（a，b≥0），可得：L+L≤4=4=2，故弦长之和最大值为2.

生7的一番话语之后，课堂再次热闹起来.

师：有谁对该题小结或提炼一下吗？

生8：该解法避开联列方程等繁琐的手段，通过研究圆心到直线的距离的性质来解决两条动弦长的和的最值问题，体现了“化动为定”的思想.

师：总结得非常到位.该题看似与问题1不同，但他们有相同的“根基”，即都是解决与圆有关的动线段问题，那么我们在解决此类问题时要利用好圆心“化动为定”.

师：如果将圆与圆锥曲线知识相结合，我们又该如何下手呢？请看下面挑战大家“智慧”的两道高考题.

问题3.（2009重庆卷文）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=，离心率e=.

（Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如图3，点A的坐标为（-，0），B是圆x+（y-）=1上的点，点M在双曲线右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此时点M的坐标.

第一问解答略，双曲线的方程为x-=1.

师：要使|MA|+|MB|最小，但|MA|，|MB|都是动线段，怎样“化动为定”呢？

生9：记得有过这样一道题，在x轴上找一点M，使该点到两个定点A（-1，2），B（3，5）的距离之和最小，即求|MA|+|MB|的最小值，好像很像啊！

师：很好，那么在生9所说的那道题里，点A，点B是定点，而我们题目里点B是动点，怎样转化呢？

生10：可不可以转化到圆心C的距离呢？如果|MA|+|MC|最小，只要减去半径就是|MA|+|MB|的最小值了呀!

师：有思想。具体如何“操作”呢？刚才生9类比的很有道理，我们是如何转化折线段长度之和的？

生11：利用三点共线.可以分别考虑利用双曲线的定义转化线段|MA|，利用动点到圆心距离来转化线段|MB|：如图4，设点D的坐标为（，0），则点A、D为双曲线的焦点，|MA|- |MD|=2a=2，所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.由于B是圆x+（y-）=1上的点，其圆心为C（0，），半径为1，故 |BD|≥|CD|-1=+1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1.

当M，B在线段CD上时取等号，此时|MA|+|MB|的最小值为+1.

又直线CD的方程为y=-x+，因点M在双曲线右支上，故x＞0.

由方程组4x-y=4y=-x+，解得x=，y=.

所以点的坐标为，.

问题4.已知圆A:（x-1）+y=4与x轴负半轴交于点B，过B的弦BE与y轴正半轴交于点D，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过点D的椭圆，

（1）求椭圆的方程；

（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值.

由于问题3与问题4可以采用类比的方法来解决，故让同学们独立完成.

（五分钟后）实物投影同学们的答案如下：

第一问解答略，椭圆方程为+3y=1.

要使PQ+PD最大，只要使PA+PD最大，只要使2a-PB+PD最大，只要使PD-PB最大，当P，B，D三点共线时（如图5）.

（PQ+PD）=（PA+PD）+r=（2a-PB+PD）+r=（PD-PB）+2a+r=BD+2a+r=3a+r=2+2（其中a为椭圆长半轴长，r为圆半径）.

3.学习反思

课后，许多同学找了很多以前没有解决或还心存困惑的问题.大家欣喜地发现，通过这堂课的探究，找到了解决此类问题的一般方法.同学们在高三的二轮复习中不仅仅是空洞的罗列知识点，做大量的题目或者是一味地追求所谓的应试技巧，对于我们同学来说最重要的是学会总结方法，提炼思想.著名数学家华罗庚先生把读书过程归结为“由薄到厚”“由厚到薄”，当你对书的内容真正有了透彻的了解，抓住了全书的要点，掌握了全书的精神实质后，读书就由厚变薄了，愈是懂得透彻，就愈有薄的感觉.我想我们的二轮复习过程正是要让书本“由厚到薄”的过程，即用一种“收敛、整合”的态度来认识整个高中数学知识，这样我们才能学得有劲，学得轻松，才能真正做到灵活运用，提高高三数学二轮复习的有效性.

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