巧用“”解个数问题

〔关键词〕 数学教学；个数问题；

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004―0463（2014）19―0118―01

所谓特殊公式，就是运用基本公式经过变形和推导得出的公式，恰当地运用特殊公式能简化解题过程，提高解题效率，也能解决一定按常规思路和方法解决不了的问题，便于学生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式时，一定要注意特殊公式的使用条件，不能一概而论.下面以“”这个特殊公式举例说明在解个数问题方面的一些妙用.

1.用公式求线段的条数

例，如图1（1），在直线l上画一个点时，直线上的线段有0条；如图1（2），画2个点时，有1条线段；如图1（3），画3个点时，有3条线段；画4个点时，有6条线段，那么如果在直线上画不同的10个点时，可得到多少条不同的线段？在直线上画n个不同的点时，有多少条不同的线段？

分析：当直线l上画2个点A、B时，如图1（2），以A为一个端点，与另外一个点B能组成线段AB，以B为一个端点，与另外一个点A能组成线段BA，而线段AB和线段BA是同一条线段，因此直线l上画2个点时有1条线段.

当直线l上画3个点A、B、C时，如图1（3），直线l上有3条线段.

当直线l上画4个点时，每一个点与其余3个点都能组成一条线段，这样共有4×3=12条线段，而这12条线段中，每条线段都出现了两次，即共有6条不同的线段.

当直线l上画10个点时，依据以上规律，共有=45条不同的线段.

当直线l上画n个点时，依据以上规律，共有 条不同的线段.

2.用公式求角的个数

例，如图2（1），在锐角∠AOB的内部画一条射线，可得3个不同的锐角；如图2（2）画2条不同的射线，可得6个不同的锐角；如图2（3）画3条不同的射线，可得10个不同的锐角；那么照此规律，画10条不同的射线，可得多少个不同的锐角？画n条不同的射线呢？

分析：在图2（1）中，在锐角∠AOB的内部画一条射线，这样以O为端点，共有3条射线，以其中一条射线为角的一边与其余两条射线可组成2个锐角，这样共可组成3×2=6个锐角，而每一个锐角出现两次，则可得到=3个不同的锐角.

在图2（2）中，在锐角∠AOB的内部画两条射线，这样以O为端点，共有4条射线，以其中一条射线为角的一边与其余三条射线可组成3个锐角，这样共可组成4×3=12个锐角，而每一个锐角出现两次，则可得到=6个不同的锐角.

在图2（3）中，在锐角∠AOB的内部画三条射线，这样以O为端点，共有5条射线，根据以上规律，则可得到=10个不同的锐角.

因此，在锐角∠AOB的内部画10条不同的射线，这样以O为端点，共有12条射线，根据以上规律，则可得到=66个不同的锐角.

在锐角∠AOB的内部画n条不同的射线，这样以O为端点，共有（n+2）条射线，根据以上规律，则可得到=个不同的锐角.

归纳：当以O为端点共画n条不同的射线组成锐角，则可得到个不同的锐角.

3.用公式求直线相交的交点个数

例，平面内有2条直线相交，有1个交点；平面内有3条直线相交，最多有3个交点；平面内有4条直线相交，最多有6个交点.那么5条直线相交，最多有几个交点？如果有n条直线相交，最多有多少个交点？

分析：5条直线相交，其中每一条直线与其余四条直线各有一个交点，则共有5×4=20个交点，而每两条直线相交各重复一次，则最多有=10个交点.

根据以上规律，有n条直线相交，最多有个交点.