巧用概率模型解决代数问题

【摘要】 概率论是数学研究的一个重要分支，能够通过其独特的定义、方法，运用一定的模型解决其他数学分支的难题.代数是学生数学学习中的重要内容，由于代数问题的抽象性，常常使学生对代数的学习产生一种畏难心理，阻碍学生进一步的数学学习.基于此，文章通过将概率模型与代数问题相结合，通过构造一定的概率模型来解决代数难题，使学生能够将抽象的代数问题运用直观的概率模型加以表现、解决.本文试图从概率模型在数列问题、代数恒等式问题、代数不等式问题以及排列组合中的应用来介绍如何通过构建概率模型直观地解决代数问题.

【关键词】 概率模型；代数问题；解决

【基金项目】 区级科研项目，项目名称：基于校企合作模式的嵌入式实训平台研究与建设，项目编号：KY2016LX101；院级教改项目，项目名称：面向应用型本科的《线性代数》的教学研究.

一、概率模型在数列问题中的应用

数列求和问题是学生在代数学习中经常遇到的问题，也是常常困扰他们的难题.有些学生通过公式记忆来解决这类问题，导致遇到新题型时往往不知变通.但如果仔细研究不难发现，有些数列问题可以通过构建一定的概率模型加以解决.

例1 数列的级数求和：

求证∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

解题思路：构造与之相应的概率模型：假设这是一个概率实验，在一个重复、独立的实验条件下，若其每次只可能有两种实验结果，即A发生和A不发生. n n+1 为第n次试验中A可能发生的概率，在实验中假设A发生则整个试验成功，则题目就转换成为计算试验成功率的概率问题，进而用概率方法和原则对问题求解.

对上述试验的分析得知：

（1）假设在第一次试验中A就发生，则其发生的概率可能性为 1 2 ；

（2）假设在第二次试验中A发生，第一次试验中A不发生，则事件发生的概率可能性为 1- 1 2 × 2 3 = 2 3！ ；

（3）假设在第三次试验中A发生，第一次实验中A不发生、第二次试验中A也不发生，则该事件的概率可能性为 1- 1 2 1- 2 3 × 3 4 = 3 4！ ；

如果这个实验在这种情况下一直循环进行下去，那么事件成功的可能性，也即成功的概率可以表示为：

1 2！ + 2 3！ + 3 4！ +…+ n （n+1）！ +…=∑ ∞ n=1 n （n+1）！ .

由于每一个试验并不总是成功，因此，我们将在每一次试验中失败的概率依次表示为

1- 1 2 ，1- 2 3 ，…，1- n n+1 ，….

在此基础上，我们将每一次试验都失败的概率表示为

lim n∞ 1- 1 2 1- 2 3 … 1- n n+1 =lim n∞ 1 n！ =0.

通过这个模型可以得出结论，试验失败的概率为0，据此我们可以得出试验成功的概率为1-0=1，用公式模型表示出来就是

∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

二、概率模型在代数恒等式中的应用

代数恒等式的证明方法有许许多多，诸如几何法、代数法、定理证明法等等.但随着学生数学学习难度的加大，越来越多的代数恒等式的求证问题用传统常规的运算方法很难求解，无法快速有效地切中问题的命脉，找出问题的核心所在进而快速解决该数学难题；另一方面，随着学生数学学习内容的不断扩大与加深，尤其是在对概率论不断学习的基础上，如果能巧妙地运用所学到的概率论知识，在求解代数恒等式难题时构建相应的概率模型，找出问题的核心要点，就能够巧妙迅速地解决数学难题，进而进一步激发数学学习的热情.

例2 求证下列代数恒等式成立：

∑ n r=0 Crn+r[（1-x）n+1xr+xn+1（1-x）r]=1.

解题思路：将该模型看作是一个现实生活中实际的概率应用模型.假设A和B两个队伍共同参加一项体育竞赛，在整个竞赛中，谁先赢得n+1场胜利谁所在的队伍就将在整场比赛中优先胜出，在整个比赛中不存在平局的现象.由此，我们设x是A队在每一次竞赛中胜出B队的概率可能性，由此可以推出，1-x是B队在每一次竞赛中胜出A队的概率可能性.在n+1+r场比赛中（r=1，2，3，4，…，n），A队要想最后获得冠军，必须要在最后一轮竞赛中战胜B队，在此前提下，还必须要在前n+r场比赛中取得n场胜利.由此，我们可以将A队在n+1+r场比赛中获胜的可能性用概率公式表示出来，即

P（A）=∑ n r=0 Cnn+rxn+1（1-x）r.

依据A队胜出的概率模型的构建，我们可以用同样的方法构建B队在n+1+r场比赛中胜出可能性的概率模型

P（B）=∑ n r=0 Cnn+r（1-x）n+1xr.

在此基础上，我们可以很清楚地看到P（A）+P（B）=1，很容易就将整个代数恒等式求证出来.

三、概率模型在证明代数不等式中的应用

不等式的证明求解也是代数学习中常常遇到的问题，有些不等式常常由于其复杂的变量构成及数量关系，很难用之前所学的代数、几何、定理求解法求解，而且在代数不等式问题中多是涉及一些抽象的变量，进一步加深了学生的学习理解难度.为此，在不等式证明中引入概率模型的求解方法，将问题不等式中的若干变量设置成应用模型或试验中的若干相互独立存在的事件的概率，通过一定的假设，将这些事件中的和事件看作概率论中样本空间的一个子集，使之成为一个整体，这样便能够使事件概率小于或等于1，有利于在实际操作中得到}目要求的不等式.

例3 证明下列不等式成立：

a2bc+ab2c+abc2+1≤ab+ac+bc+a2b2c2，

其中a≥1，b≥1，c≥1.

解题思路：若想用概率模型求解，首先，要将不等式的总和小于或等于1，为此，先将不等式进行变形，由观察可得，不等式两端同时除以a2b2c2，得到如下不等式：

1 ab + 1 ac + 1 bc + 1 a2b2c2 ≤ 1 abc2 + 1 ab2c + 1 a2bc +1，移项得

1 ab + 1 ac + 1 bc - 1 abc2 - 1 a2bc - 1 ab2c + 1 a2b2c2 ≤1. （1）

根据整理后的不等式构造相应求解的概率模型如下：假设共有三个口袋，ab球在1号口袋中，ac球在2号口袋中，bc球在3号口袋中，其中在三个袋子中都会有一枚红球.现在要求试验者从每一个袋子中各取出一枚球.为方便起见，我们记A={从第i号袋中取出红球}，i=1，2，3，则用概率中的事件表示模型可以将式子列为P（A1）= 1 ab ，P（A2）= 1 ac ，P（A3）= 1 bc .A1，A2，A3在事件中是相互独立的事件，进一步的将式子变为：

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）= 1 ab + 1 bc + 1 ac - 1 a2bc - 1 abc2 - 1 ab2c + 1 a2b2c2 .

又由题设可知P（A1∪A2∪A3）≤1.由此（1）式成立，（1）式是原题中不等式的简单移项变形，因此，可得原不等式成立.

四、概率模型在排列组合中的应用

在概率问题的求解中若想要求出题目要求的事件概率A，首先，要知道基本事件总数n以及事件A在总事件中发生的频m，这其中的变量m，n我们可以将其看作排列组合中的数量关系.反之，在这种思维模式导向下，我们在解排列组合应用题时，也可以将所求的应用题目转化为相应的概率模型进行求解，通过这种转化，可以将之前抽象的代数数量关系转化成为直观的概率模型，便于学生的学习理解.我们在将排列组合转化为概率模型时，首先，要通过一定的转化将所求的排列组合问题归结为某一类等可能事件组成的概率模型，事件A出现的频数为m，P（A）是事件A发生的概率，n表示事件的总数，那么据此就可以求出m=nP（A）是所要求的排列组合的解.

例4 有六名学生在站路队，由于特殊原因这六名学生中有一名学生的位置既不能在排头、也不能在排尾，问在这样的情况下，共有多少种可能的站法？

解题思路：将这个排列组合问题转化成概率问题求解，就可以将这六名学生的站路队现象看成一个随机试验，n=A66=720，表示该试验所包含的基本事件的总数.记A={既不能站在排头也不能站在排尾的学生}，B={站在排头的某一名学生}，C={站在排尾的某一名学生}，联系实际情况可知6名学生站在排头排尾的情况是等可能现象，由此可以得出式子：

P（B）=P（C）= 1 6 ，P（A）=1-[P（B）+P（C）]=1- 1 6 + 1 6 = 2 3 ，

由此式子可以进一步得到m=nP（A）=720× 2 3 =480.

例5 证明Ckn+1=Ckn+Ck-1n.

解题思路：首先，要将排列组合的模型转化成为概率小于或等于1的一个基本事件，为此，首先要对原式进行相应的变形：

Ckn Ckn+1 + Ck-1n Ckn+1 =1.

接下来就要构造相应的随机试验：假设n+1是一批待出厂的产品的总量，若工厂的工人不小心将一个废品混入其中，现要求试验者随机从这批产品中抽取k个产品出来，求试验者抽取的产品中废品的概率是多少？抽取k个产品中没有抽取到废品的概率又是多少？

证明：为了方便起见，我们设事件A1={抽取的k件产品中没有废品}与A2={抽取的k件产品中有废品}为两个对立事件.

P（A1）= Ckn Ckn+1 ，P（A2）=P（A1）= C11Ck-1n Ckn+1 .

本文通过将概率模型应用在数列问题、代数恒等式问题、代数不等式问题以及排列组合等问题的解题过程中，可以看出，在解决数学学习中的代数问题时，我们可以用构造概率模型的方法创新解题思路，将抽象化的代数数学模型转化成为相应的更为直观的概率解题模型，这种方法既需要不依赖相应的代数解题公式，又能够在一定程度上开拓、创新学生的解题思维，使学生的数学学习不只是枯燥的记忆公式，以及遵循传统的解题思路和解题方法.由此可以看出，概率模型与代数问题的完美融合为解决复杂、抽象的代数问题提供了一种解题的新思路和解题方法.这种创新的解题思路和解题方法能够不断地激发学生学习和探索数学奥秘的热情，使学生逐渐养成一种自主学习的好习惯.

【参考文献】

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