巧用动静互化解动态问题

【关键词】动静互化 变静为动 化动为静

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）11B-

0086-02

“动态问题”是近年中考的热点题型之一，如何解决动态问题是学生普遍感到棘手的问题。要想让学生在遇到此类问题时不害怕、不畏缩，并能较为娴熟地解答，笔者认为应做好两方面的工作：一是在复习中强化这方面的训练；二是在平时的教学中渗透“动静互化”思想，在帮助学生解决问题的同时，激发学生的思维，拓展学生思维的空间，使学生获得解决动态问题的一些策略和方法，长此以往，必能收到好的效果。下面结合例子谈谈笔者的几点做法。

一、变静为动，拓展思维

“变静为动”不仅可以拓展学生的思维空间，而且能提高学生的应变能力，增强学生举一反三、触类旁通的能力。

【例1】 如图1，两同心圆间的圆环（即圆中阴影部分）的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA・PB的值是（ ）

A.16 B.16π C.4 D.4π

本例是扬州市的一道中考题，命题者独具匠心，让人拍案叫绝。学生若能从运动变化的角度来思考，“变静为动”，则易发现：当弦AB绕点P旋转到A1B1（图2中的A1B1为大圆的直径）时，有PA・PB=PA1・PB1=（R-r）（R+r）=R2-r2=16，故选择A。

本题也可以使弦AB绕点P旋转到与小圆相切于点P的弦A2B2（如图3）的位置上，连接OP，OA2，则有PA・PB=PA2・PB2=PA22=R2-r2=16。

这里通过一个“动”的过程，把一般性问题转化成特殊问题，既揭示了事物之间一般与特殊的内在联系，又拓展了学生的思维空间。

【例2】如图4，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB・AC=AE・AD.

教学时，笔者在引导学生解答此例后，设计了以下两个变式引伸的问题：

1.当弧BEC分别是劣弧、半圆、优弧时，∠BAC分别是锐角、直角、钝角。在每种情况下，AB・AC=AE・AD都成立吗？

2.若上述三种情况都成立，你能否用一个命题把它们表述出来？

在要求学生分别画出三种情况下（静态）的图形并思考解答问题1后，教者演示动态过程（B，C两点分别沿弧BA，弧CA方向运动），依次出现图4，图5，图6三种情形，使学生清晰地认识到图4，图5，图6都是同一条件下几种不同位置的图形罢了，它们是一个有机的整体，于是得到命题：

三角形两邻边的积等于第三边上的高与外接圆直径的乘积。

这里“变静为动”，不仅充分发挥了例题的功能，而且使学生在观察、思考、探究并解决问题的过程中，既获得了知识，又感悟了用“运动变化”的观点来分析问题时所带来的思维空间上“豁然开朗”的境界。这种动态过程揭示了知识本身“形变质不变”的内在本质特征，同时涵盖了分类讨论的数学思想。

课本中给我们提供了大量的动态原型，如圆周角定理、弦切角定理、两圆的位置关系、抛物线的平移等，这也是近年来许多省市中考考察“动态问题”的主要原因之一。

二、化动为静，激活思维

在解决“动态问题”中，若能“化动为静”，往往也会收到很好的效果。

【例3】如图7，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标是A（5，0），B（0，3），C（5，3），O为坐标原点。

①点E在直线BC上，若AEO为等腰三角形，求E点的坐标（不必写出计算过程）。

②过A，C两点的O′交线段BC于另一点D，且O′与y轴没有公共点，OD交O′于点G。设D的横坐标为t，AGO的面积为S，试用含t的代数式表示S，并求出t的取值范围。

此题是扬州市的一道中考压轴题，问题①考查了分类讨论的思想；问题②中S与t的函数关系式，大部分学生由OBD∽AGO，可得■=■=■，利用勾股定理，用含t的代数式表示出OD，再求出OG，AG，又由AGO是直角三角形，可求出S=■OG・AG=■.

但对于t的取值范围，则极少有学生能正确解答。由于O′是一个动圆，且O′与y轴没有公共点，学生缺乏解这类动态问题的经验与方法，一时难以理解，无从下手。

此处若能采用“化动为静”的解题策略，便不难解答。在引导学生分析此题时，可以让学生观察O′的动态演示过程，思考动圆O′在运动中有无特殊（指位置）情况？

学生不难发现，动圆O′有两种特殊位置：一是O′与y轴相切（图8），二是O′与BC的交点D与C重合（图9）（这两种情况虽不合题意，但我们可以假设这两种情况成立），显然t的范围应介于BD（图8中BD）与BC（图9中BC）之间。由图8，设O′与y轴相切于M，则BM2=BD・BC，易知BM=■，故BD=■=■，由图9知，此时BD=BC=t=5，所以，t的范围为■

这里的“化动为静”，即于“动态”中，使之相对“静止”，使学生在“疑无路”时“柳暗花明”，在“动静互化”中既解决了问题，又激活了思维。通过对两种特殊情况的思考，解决了一般情况下的问题。

在平时教学中，我们若能把握渗透“动静互化”思想的契机，使学生经历感知―领悟―理解―运用的过程，则能更好地激活学生的思维，使学生的思维向深度和广度发展，培养学生良好的思维品质。

（责编 易惠娟）