一次函数的入门教学

一次函数是学生第一次接触的函数，它是最基本的一类函数，也是初中数学的重要内容之一，是初中学习其他函数（反比例函数，二次函数）的重要基础，也是高中数学学习的重要基础。一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等知识，有着密切的联系。另外，一次函数在社会问题、经济问题、物体的运动规律中都有着广泛的应用。通过对一次函数的教学，使学生体会“实际问题―数学建模（函数）―解决数学问题（研究函数的图像和性质）―用函数解决问题（应用）”的数学学习过程。

下面我就谈谈如何进行一次函数的入门教学。

一、函数

变量和函数，是八年级学生初次接触到的内容，在认知方式和思维习惯上对学生都有较高的要求，入门会有一定的困难。我们要做好以下工作。

1.充分利用已有知识，减少对新概念接受的困难。

我们在代数式、方程等内容的探索中，已经渗透了变化的思想，在教学中，要联系代数式的值和方程中未知数的求解，去理解常量与变量，进而体会函数的思想。

2.利用丰富的实例，感知运动变化问题。

在教学中，我们要多举一些具体实例，让学生感知这种变化。例如，列车在行驶过程中，速度不变，路程随时间的变化而变化，当时间确定时，路程也随之确定;水库的蓄水量随水位的变化而变化，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变。

教师举例后，一定要给学生自由发言的时间和机会，让学生多举一些生活中的实例，教师从中甄别。

3.让学生动手实验，在丰富有趣的活动中接受函数的思想。

教师可以让学生在学习过程中亲身经理和体验，去体会函数。例如，学生经历用火柴搭小鱼的趣味活动，体会火柴根数与所搭小鱼条数之间的变化过程。再如，让学生向平静的水面投掷一枚石子，所激起的波纹，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定。

教师要充分利用学生搜集的素材，鼓励学生自己进行交流讨论，不要怕耽搁时间，也不要担心学生的归纳会影响知识的完整与严密，要花大力气去设置问题，组织和引导学生进行交流和探讨。最后，由教师给出函数的定义，然后由学生再一次通过前面的素材，去加深对函数概念的理解。

二、一次函数

对于一次函数的教学，要引导学生从实际问题出发，积极构建函数模型――一次函数，正比例函数。运用函数模型去研究函数的图像和性质。

1.模型建立。

通过研究加油收费和估计加油过程中，油箱里的油量问题，建立正比例函数和一次函数模型。

出示一份当地电信部门的宣传资料，通过对电信收费问题的探索，再次出现一次函数的表达形式。

速度一定，通过对汽车所走路程问题的探索，来印证一次函数的表达形式。

教师可以根据以上情景（还可多举一些），引导学生归纳出一次函数，从而顺利完成数学建模。

课本例1设置的目的是要求学生能将文字语言表述的函数关系转化为数学符号语言（一次函数）。

2.模型研究。

函数模型建立以后，接着要运用一次函数模型，来解决一次函数的图像和性质问题。

首先，要重视学生画图能力的训练，可通过一个具体的一次函数讲解画函数图像的基本方法:列表，描点，连线。教学时，不能省略学生自己画图像这一环节，否则，将不利于学生今后对函数这一重要知识的学习。

其次，要引导学生如何从函数图像去归纳函数的性质。一次函数是“数形结合”的良好范例，要通过一次函数图像特征，帮助学生从“形”上领会函数图像：（1）上升、下降的意义；（2）k、b的符号与图像的关联；（3）函数值的范围与自变量的取值范围的图像体现；（4）两函数的交点坐标问题。

3.模型应用。

数学来源实际生活生产活动，又必将服务于生产生活。在数学模型建立充分研究其图像与性质之后，还有一个重要的环节，就是回归实际，用所学函数知识，解决实际问题。

例1：铁路部门规定，旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购行李票。该行李票y（元）是行李重量x（千克）的一次函数。当携带行李60千克时，购行李票要5元，当携带行李90千克时，购行李票要10元。请你思考当携带行李120千克时，应购行李票多少元?旅客最多可免费携带多少千克行李?

解：设y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），

根据题意，把x=60y=5，x=90y=10分别代入上式中，

得60k+b=590k+b=10，解得k=b=-5，

故求出函数关系式为:y=x-5.

当x=120时，y=×120-5=15（元）.

旅客最多可免费携带的行李，即y=0时，求x的值.

当y=0时，有x-5=0，解得x=30（千克）.

答:当携带行李120千克时，应购行李票15元，旅客最多可免费携带30千克的行李。

例2：A地有钢筋400吨，B地有钢筋600吨。现在要把这些钢筋全部运往C区和D区盖楼。从A地往C、D两区运钢筋的费用分别为25元/吨和30元/吨，从B地往C、D两区运钢筋的费用分别为20元/吨和24元/吨。现C区需要钢筋540吨，D区需要钢筋460吨，怎样调运总运费最少?

阅读提示:

（1）影响总运费的变量有哪些?

（2）由A、B两地分别运往C、D区的钢筋共有几个量?

（3）这些量之间有什么关系?

分析：解决含有多个变量的问题时，要分清这些变量之间的关系，然后选取其中一个变量作为自变量，列表寻求可以反映实际问题的函数。

解：设总运费为y元，A地运往C区的钢筋量为x吨，

由总运费与各运输量的关系可知，y与x之间的函数为：

y=25x+30（400-x）+20（540-x）+24（60+x）

化简得y=-x+24240（0≤x≤400）

由图像可看出，当x=400时，y有最小值24240.

答:从A地往C区400吨，运往D区0吨;从B地运往C区140吨，运往D区460吨时，总运费最少，最小值为24240元.

例3：某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有2种运输方式可供选择，主要参考数据如下:

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