我看数形结合

数形结合的解题思想是高中数学的主要解题方法之一。数学是研究空间形式和数量关系的科学。《高中数学课程标准》要求：让学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示等思维过程。可以看出：空间想象、抽象概括、符号表示等是提高学生的数学思维能力的重要内容。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质，可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息相互转换、相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。因此，数形结合不仅仅是一种解题方法，更是一种重要的数学思想方法。著名数学家华罗庚先生关于数形结合有一首小诗：

数形本是相倚依，焉能分作两边飞？

数缺形时少直观，形少数时难入微，

数形结合百般好，隔离分家万事休，

几何代数统一体，永远联系莫分离。

这首诗形象地道出了数形结合的真谛。由于数形结合的重要性，数学教师经常把数形结合方法挂在嘴边，落实在课堂上。但是在实际教学中有的同学会有这样的疑问：我也由题目给定的代数关系得画出图形，或是也由所给出的图形得到了一定的代数关系，可是题目就是解不出来，这是为什么？下面我们通过几个例子来看一下。

例1.（2010全国卷）已知函数f（x）=|lgx|?摇?摇0＜x≤10x+6?摇?摇x10，若a、b、c不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是?摇?摇?摇.

我请一个同学上黑板上来展示他的解题过程，该生说不会做，我就让他写出他已经做出的部分，他的解题过程如下：

先由已知条件，画出图像。

由图像可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可设a＜b＜c，则相当于y=n的图像与上图有三个交点。则可判断出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。

到此为止，该生得不出进一步的结论，有一种感觉，好像眼看着就能做出来，却怎么也做不出来。

分析：出现上述结果的原因其实就是学生在对数形结合关系的把握上只注重图形的功能，也就是说，已知条件的几何意义是找出来了，但是蕴藏在几何图形下面的代数关系却还没有揭示出来，而没有认识到要想最终决问题还是要依靠a、b、c之间的代数关系，几何图形只能帮助我们直观地认识可能出现的结果，而不能精确进行运算。简单地说，只认识到f（x）与y=n有三个不同交点，只注重图形关系，而不能把f（a）=f（b）=f（c）所揭示的代数含义转化出来。由此我想到为什么有的同学做这些类型的问题时，可能会得出正确的结果，但你让他写他却不太能完整地写出来。某种意义上是因为是因为我们有时过分关注形式化的结果，却忽略了其代数关系的教学。

经过点拨，该生得出了以下的解题过程：

由图形可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可设a＜b＜c，则相当于y=n图像与上图有三个交点。则可判断出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。

f（a）=-lga，f（b）=lgb，f（c）=c+6

由f（a）=f（b），得-lga=lgb

ab=1，abc=c.

又1＞f（c）＞0，则10＜c＜12

abc∈（10，12）.

例2.若关于x的方程x+ax+2=0的两根都大于1，求实数a的取值范围.

解法一：设f（x）=x+ax+2，若方程有两个大于1的根，由图像可知图形与x轴有两个交点且零点大于1，所以：

（1）f（1）＞0，（2）≥0，（3）-＞1.

则由（1）可得a＞-3，由（2）可得a≥2或a≤-2，由（3）得a＜-2.综上可知-2≥a＞-3.

全班所有学生，无论是做对做错的，用的都是上述解法。而且当我提问是否有其他解法时，学生都感到茫然，好像只知道这种方法。这也许是因为我们在解决此类问题时一直给学生强调“一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程”三个二次的相互转化，使学生形成了思维定势，只想到要立即转化成为一元二次函数。

就一个一元二次方程的根的情况来说，它的根是完全可以解的。为什么学生想到的只是利用函数的图像呢？是方程的解不能表示出来还是表示太难？我们来看看代数解法的解题过程，对比一下就可以看出问题所在。

解法二：因为方程有解，则同上，由≥0得a≥2或a≤-2，所以方程的根为x=，x=，由题意可得x＜x，若要根大于1，只要x＞1即可，由＞1，可得-3＜a＜-2，所以a 的取值范围是-2≥a＞-3.

对比两种不同的解法，可以发现，解法二唯一有点困难的地方是解不等式＞1。但是对于一个高中生来说，实在说不上难，为什么学生就不愿意采用，甚至于忘记这种解法呢？这不是我们开始学习讨论方程的根的问题时学生最先想到的方法吗？讨论方程根的问题，把方程根求出来不是最本质的做法吗？同时该做法对于纠正学生对于图形的过度依赖，加强代数关系的教学，锻炼学生良好的学习品质都有好处。

例3.试判断方程sinx=x方程解的个数.

根据观察，我们可以看出x=0一定是方程的根，有的同学根据感觉画出图像（1）认为有三个交点。有的同学则画出图像（2）认为有一个交点。大家都知道解的个数问题要化成交点的个数，但是为什么会得到不同的结果呢？而且得到（1）的同学更多。产生错误的根本原因是对函数y=sinx的图像的变化不清楚。而解决这个问题就要利用导数说明函数y=x-sinx 在（0，）上的大于零恒成立。

利用数形结合解题要求画出相应的图形，但是由于各种原因学生画出的都是草图，有时其精度足以影响到解题的结果。这时就显示出代数计算的重要性，数形结合不仅有图形，还要有相应的代数运算。

综上所述，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。其实也就是化归思想。它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。当然，具体到一个问题到底是用几何解法还是用代数解法解决来得比较快、比较准，要根据具体的题目而定。

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