长沙长郡中学 湖南师大附中月考试卷调研

试卷报告

试卷严格按照新课标的范围命题，注重数学的学科本质，坚持对基础知识、基本技能和基本方法的考查，兼顾了数学思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，还注意了文、理科的差异．主要体现以下特点：①坚持“重点内容重点考查，非重点内容渗入考查”的思路，突出考查了数学中支撑学科知识体系的主干内容，体现了重点知识在试卷中的突出位置，如函数在本试卷中占了显著的地位．②注重知识的交叉、渗透和综合，注重检测大家是否具备了有序的网络化的知识体系．试卷中知识交汇的试题比比皆是，如理科第8、13、22题，文科第8、15、20题等．③关注数学知识的合理应用，比较重视对应用与创新能力的考查，如理科第5、15、16、20题，文科第14、16、20题．④规避命题的“模式化”，如理科第6、8、10、17题，文科第11、12、14、20题．⑤由一题把关变为多题把关，如文理科第16、21、22题都有一问需大家具有较好的数学基础才可完成．

难度系数：

一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1． （理）设a是实数，且■+■是实数，则a等于（ ）

A． ■ B． 2 C． 1 D． －1

（文）设全集U=R，集合M=｛x－2≤x≤2｝，集合N为函数y=ln（x－1）的定义域，则M∩（CUN）等于（ ）

A． ｛x1

C．？摇？摇｛x－2≤x≤1｝ D． ｛xx≤2｝

2． （理）对于实数x，符号［x］表示不超过x的最大整数，例如：［π］=3，［－1.08］=－2． 如果定义函数f（x）=x－［x］，那么下列命题中正确的是（ ）

A． f（5）=1

B． 方程f（x）=■有且仅有一个解

C． 函数f（x）是减函数

D． 函数f（x）是周期函数

（文）命题p：∠A=■，命题q：sinA=■，则p是q的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件？摇？摇

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3． （理）设a>0，b>0，则“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的（ ）

A． 充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C． 充要条件

D． 既非充分又非必要条件

（文）同理科第2题.

4． （理）已知点M（x，y）满足x≥1，x－y+1≥0，2x－y－2≤0.若ax+y的最小值为3，则a的值为（ ）

A． 1 B． 2

C． 3 D． 4

（文）阅读程序框图（图1），若输入的N=100，则输出的结果为（ ）

5． （理）已知Ω=｛（x，y）x≤1且y≤1｝，X是曲线y=x3－x与x轴所围成的封闭区域． 向区域Ω内随机掷点，则点落在区域X内的概率为（ ）

（文）如图2，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1底面ABC，其正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）

6． （理）设i，j分别表示平面直角坐标系x，y轴上的单位向量，且a－i+a－2j=■，则a+2i的取值范围是（ ）

（文）同理科第4题.

7． （理）已知关于x的不等式■x2+bx+c1）的解集为空集，则T=■+■的最小值为（ ）

（文）已知F1，F2分别是双曲线C：■－■=1（a>0，b>0）的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（ ）

8． （理）如图3，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，如果双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，那么当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的离心率为（ ）

（文）将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切，则角θ满足的条件是（ ）

A． esinθ=cosθ B． sinθ=ecosθ

C． esinθ=1 D． ecosθ=1

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．

（一）选做题（请理科考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分；请文科考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按第9题记分）

9． （理）（几何证明选讲选做题）如图4，AB是O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作O的切线，切点为C，PC=2■，若∠CAP=30°，则O的直径AB=______．

（文）（坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心C到直线ρcosθ=4的距离是______．

10． （理）（坐标系与参数方程选讲）直线x=2+4t，y=－1－2t（t为参数），圆C：ρ=2■cosθ+■（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），则圆心C到直线l的距离为______．

（文）（优选法选讲）配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点x1是差点，第2试点x2是好点，且x1>x2，则第3次试验时葡萄糖的加入量是______mL．

11． （理）（不等式选讲）设实数x，y，z满足x+2y－3z=7，则x2+y2+z2的最小值为______．

（二）必做题（理科12～16题；文科11～16题）

11． （文）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图5），若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为______．

12． （理）给出如图6所示的程序框图，那么输出的数是________．

（文）已知复数z的实部为－1，虚部为2，则■等于_______．

13． （理）正三棱锥P－ABC的侧棱长为1，底面边长为■，它的四个顶点在同一个球O的球面上，则球O的体积为_______．

（文）若命题“？埚x∈R，2x2－3ax+9

14． （理）已知方程32x－3x+1=p有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围是_______．

（文）如图7所示的数阵中，第20行第2个数字是_____

_______．

15． 方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈｛－3，－2，0，1，2，3｝，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_______条．

16． （理）给定集合A=｛a1，a2，…，an｝（n∈N，n≥3），定义ai+aj（1≤i

（1）若A=｛2，4，6，8｝，则L（A）=？摇________；

（2）若数列｛an｝是等差数列，设集合A=｛a1，a2，…，am｝（其中m∈N？鄢，m为常数），则L（A）关于m的表达式为________．

（文）已知数列｛an｝的通项为an=2n－1，现将其中所有的完全平方数（即正整数的平方）抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列．

（1）若bk=am，则正整数m关于正整数k的函数表达式为m=________；

（2）记Sn是数列｛an｝的前n项和，则■能取到的最大值等于________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

17． （本小题满分12分）（理）某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25，55］岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图（图8）：

（1）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；

（2）从［40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在［40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．

（文）在ABC中，A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知向量m=（1，2sinA），n=（sinA，1+cosA）． 满足m∥n，b+c=■a．

（1）求A的大小；

（2）求sinB+■的值．

18． （本小题满分12分）（理）已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn），作斜率为kn=－■的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列｛xn｝，其中x1=■．

（1）求xn与xn+1的关系式（用xn表示xn+1）；

（2）求证：数列■+■是等比数列．

（文）学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，初步确定文科生中有资格的学生40人，其中男生10名，女生30名，决定按照分层抽样的方法选出一个4人小组进行培训．

（1）求40人中某同学被选到培训小组的概率，并求出培训小组中男、女同学的人数；

（2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试，方法是先从小组里选出一名同学面试，该同学面试后，再从小组里剩下的同学中选一名同学面试，求选出的同学中恰有一名男同学的概率；

（3）面试时，每个同学回答难度相当的5个问题并评分，第一个同学得到的面试分数分别为：68，70，71， 72，74，第二个同学得到的面试分数分别为69，70， 70，72，74，请问哪位同学的成绩更稳定？并说明理由．

19． （本小题满分12分）（理）如图9，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．

（1）证明：PA∥平面BDE；

（2）求二面角B－DE－C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB平面DEF？证明你的结论．

（文）如图10，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H分别是棱BB1，CC1，DD1的中点．

（1）求证：BH∥平面A1EFD1；

（2）求直线AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值．

20． （本小题满分13分）（理）如图11，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asinωx+■π（A>0，ω>0），x∈［－4，0］的图象，且图象的最高点为B（－1，2）． 赛道的中间部分为长■千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．

（1）求ω的值和∠DOE的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

（文）甲、乙两个钢铁厂2010年的年产量均为100万吨，两厂通过革新炼钢技术，改善生产条件等措施，预计从2011年起，在今后10年内，甲厂的年产量每年都比上一年增加10万吨，以2010年为第一年，乙厂第n（n∈N？鄢，n≥2）年的年产量每年都比上一年增加2n－1万吨．

（1）“十二五”期间（即2011年初至2015年底），甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共多少万吨？

（2）若某钢厂的年产量首次超过另一钢厂年产量的2倍，则该钢厂于当年底将另一钢厂兼并，问：在今后10年内，甲厂能否被乙厂兼并？若能，请推算出在哪一年底被兼并；若不能，请说明理由．

21． （本小题满分13分）（理）如图12，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率为■，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的上顶点为A，过A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC的斜率之积为■，直线BC是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

（文）已知点A（1，■）是离心率为■的椭圆C：■+■ =1（a>b>0）上的一点．斜率为■的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点不重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（3）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．

22． （本小题满分13分）（理）已知函数f（x）=■（x>0）．

（1）设g（x）=x2f ′（x），若g（x）在（m，m+1）内存在唯一的零点，求正整数m的值；

（2）若f（x）>n恒成立，求正整数n的最大值；

（3）求证：（1+1×2）·（1+2×3）·…·［1+n（n+1）］>e2n－3．

（文）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的下界．已知函数f（x）=（x2－3x+3）·ex，其定义域为［－2，t］（t>－2），设f（－2）=m，f（t）=n.

（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在［－2，t］上为单调递增函数；

（2）试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f（x）在定义域上是否为有界函数，请说明理由；

（3）求证：对于任意的t>－2，总存在x0∈（－2，t）满足■=■（t－1）2，并确定这样的x0的个数．