高考必做客观题――新增内容题

判断算法结果

（）必做1 如图1所示程序框图，输出结果是（ ）

A． 5 B． 8 C． 13D． 21

图1

精妙解法 这是直到型循环结构，先执行循环体再进行判断，直到满足条件才退出循环．第1次运算为S=1，i=2，a=2；继续第2次运算S=3，i=3，a=5；同样第3次运算S=8，i=4，a=13，满足条件退出循环． 所以a=13，选C．

极速突击 在理解程序框图和循环结构两种形式的基础上，按部就班的运算是解这类试题的关键．这类试题一般会融入简单的数列知识，难度不大．

（）必做2 图2是一个程序框图，则输出结果为______．

图2

精妙解法 这是一个当型循环结构．第一次运算 S=，n=2；判断不符合条件，继续第二次运算S=+，n=3，由于数据比较大，不可能枚举，就要注意观察规律，S=++…，n=2010，

S=++…，n=2011，此时符合条件，退出循环．由裂项法求和得 S=1－=．

极速突击 对于多次循环问题要注意观察，通过归纳规律，转化为求解一些特殊数列的通项、求和等问题．

金刊提醒

理解两种循环结构，读懂程序框图，能够按部就班的枚举是基本的解题方法；另外还可以根据有限运算，发现其内在规律，结合函数、数列、不等式等知识来解决．

补充判断条件

（）必做3 执行如图3所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ ）

图3

A． （30，42］ B． （42，56］

C． （56，72］ D． （30，72）

精妙解法 这是当型循环结构，满足条件执行循环体． 借助隐含的递推关系，通过“试运行”不难找出答案：第1次运算为S=2，k=2；继续第2次运算S=6，k=3；同样第3次运算S=12，k=4；……第6次S=42，k=7，满足条件继续执行循环；第7次S=56，k=8，依题知不符合条件，退出循环． 所以42

极速突击 根据循环结构特点，准确判断限制条件；有时还可以通过反向代入，检验获得临界值．

误点警示 验算“临界步骤”，确定循环参数和输出参数的值是减少失误的重要环节．

金刊提醒

关于程序框图，高考易将其与函数、数列、不等式等内容简单综合，算法的三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构和循环结构）是考查的主要内容.

判断命题真假

（）必做4 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：p：mnnαmα，q：aαaβαβ，r：mαnαm∥n，s：mαnβα∥βm∥n，则以下说法正确的是（ ）

A． “p∨q”为假

B． “q∧r”为真

C． “r∨s”为假

D． s的否定为假

精妙解法 立体几何中位置关系的判断是常见的命题真假判断形式． 既可以根据公理和定理进行判断，也可以通过构造正方体模型等特殊处理来解决；本问题中②③是真命题，①④是假命题． 所以根据或且非命题的真值表，不难得到结论B．

误点警示 理顺命题间相互关系，掌握完善的数学知识，是减少解题失误的重要途径．

（）必做5 有下列四个命题：

①“若ab＞0且a＞b，则＜”的否命题为真命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题为真命题；

③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题为真命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为真命题，其中正确的是（ ）

A． ①② B． ②③

C． ①③ D． ③④

精妙解法 “若ab＞0且a＞b，则＜”的否命题为“已知ab＞0，若a≤b，则≥”或者“已知a＞b，若ab≤0，则≥”，①正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，显然是假命题，②错误；对于③，若q≤1，则4－4q≥0，即Δ=4－4q≥0，所以x2+2x+q=0有实根. 又原命题与逆否命题同真假，故③正确；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形为不等边三角形”，显然是假命题，④错误，选C．

误点警示 命题①是两个条件的命题，在写其否命题时，不能同时否定．一般地，若一个命题有多个条件，可以将其中一个看做小前提，其余的均作为大前提来处理．在写否命题时，大前提不能否定，这样根据不同的小前提，可以写出不同的否命题．

极速突击 本题主要考查了命题间的关系，由原命题写出其逆命题、否命题、逆否命题． 两个命题的条件与结论换位，称为互逆命题；两个命题的条件和结论都互为否定，称为互否命题；两个命题的条件和结论既换位又互为否定，称为互逆否命题．

金刊提醒

判断命题真假，常见的方法有：一种是分清条件、结论，直接对原命题的真假进行判断；另一种是根据命题之间的关系进行判断，如逆否命题间的真值关系、特称命题与全称命题的关系，命题与命题的否定等．

充要条件的判断

（）必做6 如果对于任意实数x， 表示不小于x的最小整数，如=2，=－1，那么“x－y

A． 充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C． 充要条件

D． 既不充分也不必要条件

精妙解法 根据题中信息知：=x－y

误点警示 弄清充要条件相关概念，储备充分的数学知识，准确理解问题本质，是判断正确的保障．

极速突击 根据充要条件相关概念，将具体问题化归转化为条件、结论的互推模式，并借助集合、图象、新信息等做出直观判断，是解题的关键和根本．

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充要条件问题往往是“试题在充要内，内容在充要外”，比如不等式的性质、集合间的关系等，因此既要积累相关知识，又要理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．

含有一个量词的命题的否定

（）必做7 已知命题p：x∈R，x≥2，那么命题p为（ ）

A． x∈R，x≤2

B． x∈R，x

C． x∈R，x≤－2

D． x∈R，x

精妙解法 由全称命题x∈M，p（ｘ）的否定为x∈M，p（ｘ）可得p为x∈R，x

误点警示 弄清含有一个量词的否定，关键在于形式上的理解记忆、否定词的准确理解和选用．

极速突击 含有一个量词的否定，主要以全称量词、特称量词为载体进行考查，常常以选择题或填空题的形式出现．

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理解并区分命题的否定和否命题这两个概念，有助于解决“含有一个量词的否定”问题；要能结合具体问题进行命题的否定，首先要理解“任意、存在、至少、至多”等等量词的内涵，并掌握这些量词相应的否定词．

类比推理

（）必做8 在平面几何里，有：“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC=（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为______．”

精妙解法 平面与空间维度不同，但关系、规律具有相似性． 四面体A－BCD的体积可以分割成四个锥体（以内切球的球心为顶点，四个底面为相应底面的的四个锥体）的体积之和，即V=（S1+S2+S3+S4）・r．

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类比的关键是找到两类事物间可以进行类比的“支点”――相同或相似的性质. 常见的类比有结构类比、升维类比、简化类比、概念类比等.

归纳推理

（）必做9 有下列各式：1++>1，1++…+>，1+++…+>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_________．

精妙解法 观察结构――不等式；观察左端式子特点――奇数个分数的和运算，分子都是1，分母是从1开始连续的自然数，分母最大的数依次是3，7，15……；右端可以化成一个分数，分子比序号大1，分母都是2，故猜想得1+++…+>，n∈N．

（）必做10 设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）=______；当n>4时， f（n）=_______（用含n的数学表达式表示）．

精妙解法 求出f（3），f（4），f（5），再进行归纳推理. f（2）=0， f（3）=2， f（4）=5， f（5）=9． 每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数，所以f（3）－f（2）=2， f（4）－f（3）=3， f（5）－ f（4）=4，…， f（n）－f（n－1）=n－1，累加得 f（n）－f（2）=2+3+4+5+…+（n－1）=・（n－2）=， f（n）=.

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归纳推理的重点是通过观察特例，发现特例的某些相似性或规律，然后把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想），再根据需要对得出的猜想进行特例检验或证明.

直接证明与间接证明

（）必做11 下面的四个不等式：①+≥2，②4a（1－a）≤1，③a2+b2+c2≥ab+bc+ca，④（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，其中不成立的有____．（把符合题意的命题序号都填上）

精妙解法 借助均值不等式考查①，易知①中缺少前提条件ab>0，故不成立；借助二次函数性质验证②成立；③④则可通过作差比较证明是正确的，所以只有①不成立． 当然③④可以利用柯西不等式、排序不等式等解决．

（）必做12 若a，b，c都是正数，则三个数a+，b+，c+的值中（ ）

A. 至少有一个不大于2

B. 至少有一个不小于2

C. 都小于2

D. 都大于2

精妙解法 设a+，b+，c+都小于2，则a++b++c+

极速突击 反证法的第一步即为假设结论的反面成立． 运用反证法常解决的一些问题有：（1）结论本身以否定形式出现的一类命题；（2）关于唯一性、存在性的命题；（3）结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；（4）结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题．

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分析法与综合法的证明途径及思维方式虽然截然相反，但在解题时，二者常常交互使用，互补优缺．

运用反证法证明问题时，必须先否定结论，即肯定结论的反面，据此来进行推理；当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．

复数的四则运算

（）必做13 复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB=_______．

精妙解法 ==－，由复数z=a+bi对应点（a，b）可知A（2，1），B，－；

于是tan∠AOB==1，所以∠AOB=．

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复数运算是高考考查复数知识的重点内容，“分母实数化”、“乘除法的可逆互化”是常考的技巧知识，而“共轭复数”、“i的性质”在高考考查中也占有一定的比例．

计数原理

（）必做14 若m，n∈｛xx=a2×102+a1×10+a0｝，其中ai∈｛1，2，3，4，5，6，7｝，i=0，1，2，并且m+n=636，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为__________．

精妙解法 个位数可能的情况为（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共五种，十位数需要分类:不进位（1，2），（2，1），进位（6，7），（7，6），所以百位数随之分类：不进位时同个位数情况，进位时可能为（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）共4种情况，根据分类、分步计数原理，共有5×（2×5+2×4）=90种．

误点警示 过分拘泥于模式、过度推崇技巧、忽视了枚举法等基本计数方法是导致失误的重要因素．

极速突击 两个原理是确定“完成一件事”的方法种数的思维方法，利用两个原理思考就可以思维清晰，高考注重通性通法的考查，在数字不是很大的情况下，枚举法非常实用．

（）必做15 小王练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：①程序由A、B、C、D、E、F六个子程序构成；②B必须在A之后；③C必须在B之后；④执行程序C后必须立即执行程序D． 按此要求，小王有多少种不同的编程方法（ ）

A． 20种 B． 12种

C． 30种 D． 90种

精妙解法 由题意知，子程序A、B、C、D顺序一定（从前往后），且CD相邻． 使用分步计数原理和插空法技巧，容易得到方法数N=C・C=20，故选A．

极速突击 特殊元素（位置）优先安排是计数的一种常用方法．以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；当然也可以先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

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复杂的排列问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，这是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能；另外借助树状图等工具对问题进行枚举，常常能化繁就简，直达主题．