“列方程解决实际问题”教学中的建模

【摘 要】方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。方程思想的核心在于建模。对五年级的学生来说，他们解应用题习惯了用算术方法，若要突然地插入改变这种习惯的新方法，必须让他们感受到这种新方法的优越性。从这个意义上来说，渗透代数模型的思想，体会用方程解题的优越性，应当是初学列方程解决实际问题的重心。

【关键词】列方程解决实际问题；建模思想；算术方法；方程方法；代数模型

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0006-03

列方程解决实际问题是小学数学五年级教学内容之一，是构建代数模型的启蒙。《数学课程标准》强调，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。因此，列方程解决实际问题不仅仅是为了解题，更重要的是数学建模思想的渗透。

一、思维定式，算术方法“顺理成章”

通过课堂教学实践，笔者发现对于刚刚接触方程的五年级学生来说，选择用方程解决实际问题并非易事。

【案例】在学习苏教版五年级第一单元例7“列一步计算方程解决实际问题”后，完成书P11第2题：

学生毫不犹豫地用算式：36+16算出答案。

在学习苏教版五年级第一单元例8“列两步计算方程解决实际问题”后，完成书P11第7题：

难度加大了，但仍有学生用综合算式：（110-20）÷2算出答案。

【分析】是孩子们没有学懂？还是由于思维定式的影响，用算术方法“顺理成章”？通过与孩子们交流以及和同事们的讨论，笔者认识到列方程解决实际问题是在学生掌握用算术方法解决问题，初步学会解简易方程的基础上教学的。小学阶段运用列方程解答的问题一般都不太复杂，学生多半能用算术方法解决，列方程解题步骤多、书写麻烦，感觉很烦琐，所以不喜欢、不习惯用。

二、渗透建模，体会方程解题的优越性

张奠宙先生打过一个比方，如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石，那么算术方法好比是摸着石头过河：从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近要求的目标；代数方法却不同，好像是将一条带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。学生初学列方程解题时，容易受到列算式解题的思维定式影响。因此，教学时要注意引导学生克服思维定式，渗透建模思想，使其体会用方程解题的优越性。

1. 合理设问

要使学生对“新方法”――方程的优越性有亲身感受，合理的问题设计很重要。一开始可以设计一些需要逆向思考的问题，如：张大爷用 420 米的篱笆围一块长方形的菜地，如果这块菜地的长是 70 米，那么宽是多少米？这题和以往告知长和宽要求周长的题目不同，是需要逆向思维的，这在一定程度上迫使学生积极思考：列算式解题时，未知数始终作为一个“目标”，不参与列式，并在脑中进行数量关系的变换，因而造成列式上的烦琐。而列方程解题打破了列算式时只能用已知数“长” 和“周长”的限制，可以根据需要用字母表示未知数“宽”，根据题中数量之间的相等关系，列出含有未知数的等式（即方程），题目中怎样叙述就怎样列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起来更便捷，有更多的优越性。

2. 渗透感悟

列方程解决实际问题的重点是根据题目中数量之间的相等关系，运用符号语言建立数学模型――方程，这需要有一定的知识基础，比如：多边形面积公式。书中出现了这样的习题：

在老师的引导下，学生很顺利地用长方形、正方形面积、周长公式列方程解决了。但对学生而言，不论用方程还是算术方法都很简单，并不能立刻感受方程的优越性。所以，接着教师设计了下面这组题：

先请学生自由选择解法，再比较利用面积公式列方程求高和用算术方法求高，让学生感受到用算术方法解题，每一步都要进行具体分析并给出合理的解释，难度大且易出错。而一旦将未知量用字母表示并和已知量一样参加运算，就很容易建立方程，逆向思维的过程被解方程的程式化步骤所替代，无须“步步为营地逼近未知量”，只要理顺题中已知量与未知量的关系，用字母代替未知量即可，思维难度大大降低。这样，使方程思想进一步渗透到学生的知识体系中，让学生感悟到方程解题的必要性和优越性。

3. 体会优越

列方程解决实际问题存在着共同的本质――寻找等量关系，建立方程模型，这其中蕴涵了数学建模的思想。课堂教学中，教师要紧扣这一数学思想进行渗透，让学生体会方程解题的优越性。如，下面这一组题：

①甲乙两车同时从相距 480千米的两地出发，相向而行，甲车的速度是90千米/小时，乙车的速度是70千米/小时。经过几小时后两车相遇？

②甲乙两车同时从相距 480千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。甲车的速度是90千米/小时，乙车的速度是多少？

③甲乙两车同时从同一地点出发，相背而行，甲车的速度是90千米/小时，乙车的速度是70千米/小r。几小时后两车相距 800 千米？

这组题目都是关于行程问题的，解决这一类问题，思考时要紧扣行程问题的基本数量关系：速度和×时间=总路程，来建立模型、列出方程。通过对比和讨论，学生发现无论题目中的条件有多么复杂，用方程解决这类问题只需要一个等量关系，思考起来比用算术方法简单得多。这样，在研究的过程中，学生对列方程解决问题的优越性有了更深入的体会。

三、巩固模型，适当比较算术方法和方程方法

在教师反复强调方程解法的优越性后，又出现了一个新状况：学生会不加选择地见题目就用方程来解决。所以，教学时教师不仅要通过比较让学生体会列方程解题的优越性，还要引导其感悟分别在什么情况下选择哪种解法更简便，从而培养学生根据具体情况灵活选用解题方法的能力。

【案例】在学习苏教版五年级第一单元例8“列两步计算方程解决实际问题”后， “巩固练习环节”可设计这样一道题目：

银杏树的棵数比杨柳树的3倍多40棵。

（1）银杏树有100棵，杨柳树有多少棵？

师：谁来说说银杏树和杨柳树之间的数量关系？

生：杨柳树的棵数×3+40=银杏树的棵数。

① 学生独立解题

解：设杨柳树有X棵

3X+40=100

3X=100-40

3X=60

X=20

答：杨柳树有20棵。

② 全班交流解法及依据（略）

师：是不是所有的应用题都适合列方程解决呢？（出示下一问）

（2）杨柳树有20棵，银杏树有多少棵？（用你认为简单的方法做）。

① 独立解题

② 反馈学生答案：

生1： 解：设银杏树有X棵

X-40=20×3

生2： 解：设银杏树有X棵

X-20×3=40

生3： 20×3+40=100（棵）

③ 比较一：

师：这一问用方程简单还是用算术方法简单？为什么？

生：用算术方法简单，因为杨柳树的棵数知道了，顺着数量关系式，可以直接求出银杏树的棵数。

④ 比较二：

师：（1）（2）这两题为什么一个适合用方程，一个适合用算术？是不是所有的应用题都适合列方程解决呢？

生：第（1）题杨柳树的棵数不知道，我们用未知数X代替，根据数量关系：杨柳树的棵数×3+40=银杏树的棵数，可以很顺畅地列出方程，思考起来比较方便。第（2）题杨柳树的棵数知道了，顺着数量关系式，可以直接求出银杏树的棵数。

总结提升：我们在解决问题时，要顺着数量关系，具体题目具体分析，灵活选择方法。

【分析】在巩固列方程解题的练习中，笔者有意设计了第（2）问，让学生自己尝试用算术方法或方程方法来解，通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同，并能根据题目不同特点，灵活选择解法。一般来说，顺向思维的题目宜用算术方法；逆向思维的题目宜用方程方法。当然，要让学生领会这些不是一蹴而就的，也并非一个单元的教学就能形成。教师不宜操之过急，应当作为长期目标有意识地渗透在平时的教学实践中，毕竟方程思想的建立是一个长期的、不断深化的过程，学生也需要一个慢慢领悟的过程。

新版教材中将原来用分数除法解决问题改成用方程解决，其意图不言而喻。教材更多地引导学生顺向思考，按事情发展的顺序陈述数量关系，从单一的盗抗叵档礁春系氖量关系，突出了分析过程，强化了建模的要求，揭示了方程思路的优越性。对五年级的学生来说，解应用题习惯了用算术方法，若要突然地插入改变这种习惯的新方法――方程，必须让他们感受到这种新方法的优越性。从这个意义上来说，渗透代数模型的思想，用建模的方式指导列方程解决实际问题的教学，引导学生从解题走向建模至关重要。