向量在几何中的应用

向量是高中数学新增添的必修内容之一，其几何形式与代数形式的双重特性，顺利地沟通了数与形的灵活转换，因此向量是解几何问题的工具。

1.平面向量在平面几何中的应用

例如：在平行四边形ABCD中，EF在对角线BD上，并且BE=FD，求证四边形AECF是平行四边形。

在初中学习平面几何时，大家可能证明过这道题，那时的证明要用到平行四边形的性质和三角形全等的判定定理。这里用向量证明，仅仅用到向量加法运算及交换律，比平面几何的“从一个图形的一个性质推出另一个性质”简单多了，在这个例题中，我们还要进一步总结用向量解决平面几何问题的步骤：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转换为向量问题；

（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系；

（3）把运算结果转化为几何关系。

本题中要想证l四边形AECF为平行四边形，只需证明向量AE与向量FC相等即可，而题中给定我们四边形ABCD为平行四边形，对角线BD上，有BE=FD，我们可转化为向量BE与向量FD相等，想到用基底表示向量AE和向量FC。当通过向量加法运算可交换律得到向量AE=向量FC后，我们可以推出AE、FC边平行且相等。因此，四边形AECF是平行四边行。

2.空间向量在立体几何中的应用

高中立体几何历来是学生学习道路上的“拦路虎”，因为它需要学生具有较强的空间想象力、逻辑思维能力和准确的数学语言表达能力。新课标中，空间向量的引入降低了高强度的逻辑思维量，避开了构造空间辅助线的难度，将空间元素的位置关系转化为数量关系，将艰涩繁杂的逻辑证明转化为数值运算，使立体几何代数化，更好地培养了学生数形结合的能力。而向量法中的空间直角坐标系法，在解决立体几何问题中独辟蹊径，尤为重要。

例如：如图1，在正方体ABCD―A B C D 中，E、F分别是棱A D 、A B 的中点，求BC 和面EFBD所成的角。

解：如图1，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体棱长为2，则坐标为：

B（2，2，0），D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C （0，2，2），

=（2，2，0）， =（1，0，2）， =（-2，0，2）.

设 =（x，y，z）是平面EFBD的法向量，则 ・ =0， ・ =0，得y=-x，z=- x，

令x=-2，得 =（-2，2，1），设θ为BC 和面EFBD所成的角，则sinθ=cos〈 ， 〉= = ，θ=arcsin 为所求。

传统的求空间角的方法主要是找到或作出所求的夹角，然后在所作的三角形中进行计算。一般来说问题的作图会有一定难度，而且计算学生也不易掌握，而利用向量的内积运算公式cos〈 ， 〉= ，把夹角的计算转化为求两个向量的长度和内积，只需通过简单的运算问题就得以顺利解决问题。

通过空间直角坐标系，把几何问题转化为简单的代数计算，由于学生对于代数运算相对较熟悉，因此用向量的方法进行计算或证明就变得更简便。例如：利用平面的法向量，通过法向量的垂直说明两平面的垂直，避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题。

总的来说，新教材中所增加的向量内容，给我们带来新的思想方法和解题工具，对于开阔学生的思路、激发兴趣、培养创新意识具有重要的作用。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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