导数易错剖析

例1 设函数[y=f（x）]在[x=x0]处可导，问极限[limΔx0f（x0+2Δx）-f（x0）Δx]是否存在？若存在，与[f（x0）]有什么关系？

错解 [limΔx0f（x0+2Δx）-f（x0）Δx][=f′（x0）]

分析 本题中[f（x0+2Δx）-f（x0）]是函数值从[x0]到[x0+2Δx]的增量，此时[x]的增量为[2Δx]，则平均变化率应为[f（x0+2Δx）-f（x0）2Δx]，此解法是对导数定义[Δy]是从[x0]到[x0+Δx]的增量理解不透而导致错误的.

正解 [limΔx0f（x0+2Δx）-f（x0）Δx]

[=2limΔx0f（x0+2Δx）-f（x0）2Δx=2f（x）].

点拨 定义中增量的形式多种多样，只需趋近于0，无论是从正方向还是负方向都可以. 如[limΔx0f（x0+2Δx）-f（x0）2Δx]，[limΔx0f（x0+Δx2）-f（x0-Δx2）Δx]或[limΔx0f（x0-Δx）-f（x0）-Δx]等，其实质是：极限式中分子对应的自变量的差等于分母.

易错2 误将已知点当成切点

例2 求曲线[C]：[y=x2+x]过点（1，1）的切线方程.

错解 因为[y′=2x+1]，所以[k=y′|x=1=3]，

所以切线方程为[y=3x+2].

分析 导数的几何意义是[f（x0）]表示曲线在[P（x0，f（x0））]的切线的斜率，而不是过任意一点的斜率.本题中（1，1）并不在曲线上，不是切点，从而导致错误.

正解 设切点[（x0，y0）]，

则切线方程为[y-y0=（2x0+1）（x-x0）]，

所以[x0（2-x0）][=0].

[x0=0]或[x0=2].

切点为（0，0）或（2，6）.

所以切线的方程为[y=x]或[y=5x-4].

点拨 （1）求函数在一点的导数，解决了一般曲线在一点的切线问题，对于二次曲线仍可用一元二次方程的判别式解决. （2）利用求导解决曲线的切线问题特别要注意所给蒂娜是否在已知曲线上，不管事求函数图象在某点的切线还是过某点的切线，首先要确定切点坐标，得出切线的斜率，进而求得结果. （3）切线与曲线的公共点除了切点外，还可能有其他的点，曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不只一条.

易错3 忽视函数的定义域

例3 函数[f（x）=lg（4-x2）]的单调递增区间为 .

错解 函数[f（x）]的导函数[f（x）=2x（x2-4）ln10]，

令[f′（x）>0]得，[-2

所以函数的单调递增区间是[（-2，0）]和[（2，+∞）].

分析 由[4-x2>0]得，本题中函数的定义域为[（-2，2）]， 故单调递增区间[（2，+∞）]并不是定义域的子集.

正解 由[4-x2>0]得，

函数的定义域为[x|-2

由[f（x）=2x（x2-4）ln10>0]，得[-2

所以[f（x）]的单调递增区间为[（-2，0）].

点拨 函数的定义域是函数的三要素之一，研究函数的一切问题都必须在定义域内进行.

易错4 对复合函数的层次分析不清

例4 求函数[f（x）=sin3（4x+3）]的导数.

错解 [f（x）=3sin2（4x+3）?（4x+3）′=12sin2（4x+3）].

分析 本题没有分清复合层次，因而解题时，少算了一次复合层次，导致解题错误.

正解 [f（x）=3sin2（4x+3）[sin（4x+3）]′]

[=3sin2（4x+3）cos（4x+3）（4x+3）′]

[=12sin2（4x+3）][cos（4x][+3）]

[=6sin（4x+3）sin（8x+6）].

点拨 （1）求复合函数的导数应遵循以下几点：①分清复合层次，观察函数时应从整体到局部；②分层求导时，弄清每一层的求导对象，且从最外层开始，由外及里逐层求导；③各层导数相乘. （2）同一函数求导可有不同的方法，若先化简再求导，可降低运算量，提高正确率. （3）尽可能少用甚至不用乘除法求导法则，如需求导可转化为加减形式求导，如：[f（x）=（x+1）（1x-1）][=（x+1）（1-x）x=1-xx=x12-x-12]. 求复合函数的导数的实质是利用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数来解决.

易错5 对单调性极值的等价命题不明确

例5 若[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）]，求函数在[R]上为增函数的充要条件.

错解 因为[f（x）=3ax2+2bx+c>0]恒成立，且[a>0]，

所以[Δ=4b2-12bc0，b2

分析 上述解法中，把[f（x）>0]视为[f（x）]在[R]为增函数的充要条件，事实上其充要条件为[f（x）≥0]且[f（x）=0]的解是间断点.

正解 [a>0，b2≤3ac.]

例6 已知函数[f（x）=x3+3ax2+3bx]在[x=0]处有极值，求[a]，[b]的关系式.

错解 [f（x）=3x2+6ax+3b=0]有解[x=0]，则[b=0].

分析 本题中认为[f（x）=0]的解都是函数的极值点，由此得[x=0]为[f（x）=0]的解是[f（x）]在[x=x0]处有极值的充要条件，但它只是必要不充分条件.

正解 [a≠0]且[b=0].

点拨 （1）课本中关于函数单调性的判断结论可修改为：设函数[y=f（x）]在某区间上可导，如果[f（x）≥0]且[f（x）=0]的解是间断的，那么[f（x）]为增函数，反之为减函数，修改后其逆命题也是正确的. （2）可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如[f（x）=x3]在[x=0]处导数为0，但它不是极值点.特别地，函数的不可导点（如尖点）也可能是极值点.如函数[f（x）=x]在[x=0]处不可导，但有极小值为0.

易错6 误认为导数为零的点（驻点）一定是极值点

例7 已知函数[f（x）=x44+b3x3-（2+a）2x2+2ax]在点[x=1]处取极值，且函数[g（x）=x44+b3x3-（a-1）2x2-ax]在区间[（a-6，2a-3）]上是减函数，求[a]的范围.

错解 [f（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a]，由[f（1）=0]得， [g′（x）=x3+bx2-（a-1）x-a]

[=x3+（1-a）x2-（a-1）x-a=（x-a）（x2+x+1）].

当[x

[（a-6，2a-3）?（-∞，a）].

[a-6

故所求[a]的范围为[-3

分析 满足[f（x0）=0]的点[x=x0]称为驻点.以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到[f（1）=0]，即[x=1]是[f（x）]驻点，那么它究竟是不是极值点呢？当[b=1-a]时[f（x）]=[x3+（1-a）x2-（2+a）x+2a=（x-1）（x+2）（x-a）]，如果[a=1]，那么[x=1]就只是拐点而非极值点.

正解 [a]的准确范围应为[-3

易错7 误认为极值只能在导数为零的点处取得

例8 求函数[fx=x2-x-6]的极值.

错解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6 ，-2

于是[fx=2x-1 ， x3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]，得[x=12.]

当[-2

当[12

所以当[x=12]时，函数有极大值[254].

分析 在确定极值时，只讨论满足[f′x=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象.

正解 正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处函数取到极小值0.

易错8 误用求导法则

例9 [f（x）=lnx]的导数是_______.

错解 [f（x）=1x].

分析 应分情况求导.

正解 （1）当[x>0]时，[f（x）=1x]；

（2）当[x

故[f（x）=1x].