非常规性数学问题解决过程中猜想能力的培养

【摘要】给出了非常规性数学问题解决过程中出现猜想能力培养的途径.

【关键词】非常规性数学问题；猜想能力；培养

在数学教学过程中,同学们碰到的大都是常规性数学问题.这类问题是数学问题中的基本问题，学生必须熟练地掌握解决此类问题的基本方法，只有如此才能夯实学生的基本素质，为以后解决更复杂的数学问题打好基础.但是在实际教学过程中，学生过多的精力被浪费在如何提高解决此类问题的熟练程度上，导致了学生思维方式的僵化，阻碍了学生创造性的发展.因而在数学教学过程中适当增加一些非常规性的题目就显得尤为必要.

所谓非常规性数学问题即不是简单地套用数学的定义，定理或按照特定的模式而解决的题目，它需要学生从实际的数学问题出发，试图从不同的角度用不同的方法去探索问题解决的途径，非常规性数学问题对培养学生思维的灵活性，深刻性和广阔性有很大的帮助.

非常规性数学问题的解决有一些基本的策略和方法，其中猜想问题答案是其中最重要的方法之一.

因此探讨非常规性数学问题解决过程中猜想能力的培养有巨大的现实意义.本文试图从培养学生（一）归纳猜想能力，（二）类比猜想能力，（三）一般化和特殊化猜想能力，（四）直觉猜想能力等方面探讨非常规性数学问题解决过程中猜想能力的培养.

１.归纳猜想能力的培养

归纳猜想是通过各种手段（观察，实验，分析，比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出个现象之间的因果关系，并逐步过度普遍化的推理方法.对于一个中小学生，只要平时有注意观察的习惯，有一定的归纳能力，就有可能从具体的数学问题中找出有规律的东西.拉普拉斯也曾经说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”.所以培养学生的归纳猜想能力是很重要的.这种思维形式的主要步骤是：实践――归纳――推广――猜想――证明.也就是说当我们遇到一个抽象的非常规问题（通常与n有关）难以入手时，设法把它具体化，特殊化，即用几个特例通过观察，分析，归纳出结论或解题的一般规律.在数学史上（尤其在数论中）有许多归纳猜想的范例，如欧拉公式，费马大定理等，当然也有许多不成功或无法确定的归纳猜想，如梅森素数猜想，哥德巴赫猜想等.正是因为它是从少数特例中归纳出来的一般结论，所以有可能发生错误，必须通过严格的证明.

２.类比猜想能力的培养

鲁班一天上山伐木，手指突然被一根茅草划破了一道口子.一根小草怎么会这样厉害呢？原来丝茅草叶子边缘长有许多锋利的小齿.鲁班眼睛一亮:如果照着丝茅草叶子的模样打制一把带倒齿的铁片，用它在树上来回拉不就很快将树割断吗？这样鲁班就发明了锯子.在这里鲁班所使用的思维方法就是类比法.

所谓类比法就是某种类型的相似性.对象甲与乙可类比，意味着它们在某方面的相同或相似（或概念相似，或结构相似，或性质相似等）类比的目的在于根据对象甲与乙的性质相似，推出它们另外的一些属性也相似.在非常规性数学问题的解决过程中，类比法是最有效的方法之一，如二维空间（平面）和三维空间之间的类比，整数理论和多项式理论之间的类比.我们可以利用类比推理猜想出类比物的新的性质，也可以由类比问题的解法猜想出待解问题发的解法.

总之这种思维的形式是：联想――类比――猜想.就是把所研究的问题与以前熟知的有关内容加以应用.可设问你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍微不同？你是否知道一个与此有关的问题？你是否知道可能用得上的问题？然后回到研究的问题中来.

３. 一般化与特殊化猜想能力的培养

一般化是由个别到普遍，特殊到一般的认识方法.其基本特点是从同类的若干现象中现它们的共同规律，由特殊的，较小范围内的认识扩展到更普遍，较大范围内的认识.我们将待解的特殊问题一般化，从而猜得问题的解法，这便一般化猜想的实质.这种方法是否奏效，主要取决于一般性问题是否比原来的特殊问题易于求解.波利亚就曾经说过：“如果一批问题是彼此相关的，解决起来有时还比单独去解决其中一个容易些――因为多个问题是彼此很好地相互联系的，而一个问题本身是独立的.”

特殊化与一般化相反,它是人们由普遍到个别，一般到特殊的认识方法，其基本特点是以被研究对象的普遍规律为基础.肯定个别对象具有个别属性.我们把复杂的一般性问题特殊化，猜得解题方法，这便是特殊化猜想的实质.这种方法是否奏效，关键是能否找到一个合适的特殊条件.要将一个普遍性的数学问题特殊化，通常情况下并不难，只须适当地加强某些条件或增加些限制即可.正因为如此，一个一般性问题经不同的特殊化处理可以得到不同的特殊问题.

4.觉猜想能力的培养

数学直觉猜想是思考者在对数学问题，图形观察分析的基础上对所解决的问题在整体上的直觉领悟和直观把握.其本质是把经验因素同数学问题的实质直接联系的思维意识，它是思考者对数学洞察力和感悟力的充分运用.正是因为如此，直觉猜想常常和顿悟，灵感之类的词联系在一起的.

数学直觉猜想有四个明显的特征：整体性，综合性，简约性，直接性.所以，直觉猜想常常可以通过跳跃性的想象和迅速的识别而直接达到对数学问题本质的认识.在数学史上，有许多由于直觉猜想而获得重大突破的史例，如哈密尔顿四元数的发明过程，牛顿发现“流数”（即导数）概念的过程等.当然直觉猜想的过程并非空中楼阁，它需要思考者对数学问题进行长时间的考虑和研究，直到进入下意识状态.笔者在学习数论时曾经遇到这样一道题目：求的非负整数解的个数，进行了长时间的思考之后，后来突然顿悟：这不是组合中的插队问题吗？于是很容易得出答案.

【参考文献】

［１］（美）波利亚著.数学与猜想.北京：科学出版社，1984年

［２］解恩泽，徐本顺编.数学思想方法.济南：山东教育出版社，1989年

［３］孙丰良著.高中总复习全程教与学.北京：地震出版社，2000年

［４］陈自强著.数学解题方法导引.长沙：中南工业大学出版社，1995年

［５］王波.从整体的角度处理问题.中学数学教学参考.1992，（5）