让转化与化归思想统领数学解题(高三)

一、知识整合

1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，一般应遵循熟悉化、简单化、和谐化、直观化和正难则反等原则.

二、例题评析

例1已知M是ABC内一点,且AB・AC=23,∠BAC=30°，若MBC、MAB、MAC的面积分别为12、x、y,则1x+4y的最小值是

分析:已知条件为向量的数量积与夹角,可以得到两边之积,再由两边与夹角求得ABC的面积,另一方面,ABC的面积又为MBC、MAB、MAC的面积之和12+x+y,从而实现了由向量向代数式的转化.然后用均值不等式求得最值.

解:AB・AC=23,∠BAC=30°,|AB|・|AC|=4,SABC=12・|AB|・|AC|・sin30°=1,又因为ABC的面积为MBC、MAB、MAC的面积之和12+x+y,得x+y＝12，

1x+4y=(1x+4y)・2(x+y)=2(5+yx+4xy)≥10+2・2yx・4xy=18，当且仅当yx=4xy时取等号.

评注:本题完成了由向量向函数方程之间的转化,进而又转化为用均值不等式求最值.做题时要注意条件的联系性和化归的数学思想.

例2设函数f(x)=x2-2x,若f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0,则点P(x,y)所形成的区域的面积为.

分析:首先分析由f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0所确定的平面区域,再根据区域的形状求其面积.

解:由f(x)+f(y)≤0,得x2-2x+y2-2y≤0,即(x-1)2+(y-1)2≤2,所表示的区域为以C(1,1)为圆心,以2为半径的圆面.由

f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y),

得(x+1)2-2(x+1)+(y+1)2-2(y+1)≤x2-2x+y2-2y,即x+y-1≤0,所表示的区域为直线x+y-1=0的左下方.故点P(x,y)所形成的区域如图阴影部分所示. C(1,1)到直线x+y-1=0的距离为d=12=22,又AC=2,故∠ACB=2π3,

扇形ABC的面积为S扇形ABC=12×22π3×2=2π3;

又ABC的面积为SABC=12×2×2sin120°=32,故阴影部分的面积为2π3-32.即点P(x,y)所形成的区域的面积为2π3-32.

评注:本题在形式上是函数和不等式问题,但剖析之后可以发现,其实质是圆与线性规划相结合的问题.高考中,知识的交汇试题是主流,很多题目都是以一个知识点为载体考查另一个知识点,解题时一定要善于分析,透过表面看透问题的实质,从而合理转化,寻求问题的解决途径.

例3在斜三棱柱A1B1C1―ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC．

(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C.

（1）解析：要证ADCC1（线线垂直），可考虑先证AD侧面BB1C1C（线面垂直）．

而要证AD侧面BB1C1C（线面垂直），可通过底面ABC平面BB1C1C（面面垂直）转化．

(2) 解析：要证截面MBC1侧面BB1C1C，只要在平面MBC1内找到一条直线垂直于侧面BB1C1C，于是连结ME，则可证ME∥AD，而AD侧面BB1C1C已证.

点评：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属于知识组合题类，解决问题的关键还是“善于转化”.

例4已知过点（0,3）的直线l与函数y=14x3+9的导函数的图象交于P,Q两点,且APAQ,其中点A坐标为(1,1)

（1）求直线l的方程,并求|PQ|的长.

（2）若g(x)=34lnx+m，问实数m取何值时，使得y=14x3+9的图象恒在y=g(x)的图象的上方？

分析:根据求导公式,将函数问题转化为抛物线与直线的位置关系问题,通过解方程组,由韦达定理和向量的数量积坐标运算,利用待定系数法求解.

解:函数y=14x3+9的导函数为y=34x2,其图象为开口向上的抛物线, 因为直线l过点（0,3）, 与抛物线交于P,Q两点,所以直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx+3,解方程组y=kx+3(1)