例析求和型数列不等式的证明策略

本文拟就一道模拟试题的证明策略加以探讨，旨在抛砖引玉，探索求和型数列不等式的证明思路及策略，归纳与总结证题方法，以期对求和型数列不等式的证法做一归纳指引.

例：已知数列{an}的通项公式an=2n-1.求证：1a1+1a2+…+1an≤2n－1对任意的n∈N都成立.

策略一放缩法

【思路点拨】本题是一个典型的求和型数列不等式，放缩法是证明这类不等式常用方法之一.利用放缩法证明求和型数列不等式问题时，通常有两种方法，一是根据不等式的结构特征，抓住数列的项，先对通项进行放缩后求和；二是先对数列求和，后放缩.

证明：当n=1时，左边=1，右边=1，不等式显然成立（等号成立）.

当n≥2时，

1an=12n－1=222n－1=22n－1+2n－1

故由1a1=1，1a2

1a1+1a2+…+1an≤1+3－1+5－3＋…+2n－1－2n－3=2n－1

从而问题得证.

【点评】本题证明的关键是对通项进行恰当放缩，即当n≥2时，将1an=12n－1放缩为1an

策略二数学归纳法

【思路点拨】数学归纳法也是证明求和型数列不等式常用方法，其关键在于证明当n=k+1时原不等式成立，这一步的证明，综合性强，往往是证明的精华部分，要细心观察，小心求证.

证明：①当n=1时，左边=1=右边，等号成立.

②假设当n≥k时，不等式成立，即1a1+1a2+…+1ak≤2k－1成立.

则当n=k+1时， 1a1+1a2+…+1ak+1ak+1≤2k－1+1ak+1=2k－1+12k+1=2k－1+222k+1

即1a1+1a2+…+1ak+1ak+1≤2(k+1)－1

故当n=k+1时，不等式也成立.

综合①，②知原不等式成立.

【点评】本题是与正整数相关的求和型数列不等式的证明问题，故可顺理成章地考虑利用数学归纳法来证明，证题思路清晰，方向明确.但在证明 n=k+1时不等式成立，需要进行适当的放缩，而这一步恰恰是运用本法证明的关键所在，需要认真思考.

策略三构造数列法

【思路点拨】对求和型数列不等式的证明，常常可以考虑把左右两端看作是两个不同数列的和，故可先构造两个新数列，然后再证明这两个数列的前n项和的不等关系即可.

证明：设数列{1an}的前n项和为Sn，即Sn=1a1+1a2+1a3＋…+1an，设数列{bn}的前n项和为Tn,设Tn=2n－1,从而问题转化为证明：Sn≤Tn.

则当n=1时，S1=T1.也即1a1=b1

当n≥2时，bn=Tn－Tn－1=2n－1－2n－3,1an=12n－1

而1an－bn=12n－1－2n－1+2n－3

=1－(2n－1)+4n2－8n+32n－1

=(2n－2)2－1－(2n－2)2n－1

1an

将1a1=b1,1a2

故原不等式成立.

【点评】本法的关键是根据求和型数列不等式的结构特征构造了两个新数列，从而将证明求和型数列不等式问题转化为比较两个新数列的通项大小问题，然后通过累加法得到两数列的和，从而证得所要结果，构思巧妙，证法简单明了、易懂，从证明过程看，大大减轻了证明的难度.

策略四分析法

【思路点拨】分析法也是证明求和型数列不等式的常用方法.分析法证题的理论依据是执果索因，即寻找出结论成立的充分条件或是充要条件.其基本步骤是：要证……，只需证……，只需证…….

【点评】本题通过构造新数列，研究该数列的单调性，证明该数列为单调递减的，利用单调性构建不等式，确定出数列{bn}的最大项为b1，由此得到bn≤b1=0，从而问题得证.

从以上几种证明策略的探讨不难看出，求和型数列不等式问题的证明，方法多，难度大，思维跨度大，但并不是不能解决.只要仔细分析题目的结构特征，牢牢抓住数列通项的特征，充分利用好数列的通项、求和及单调性等性质，利用通项研究其求和问题，证明这类问题就不难.抓住所证不等式的结构特征，讲究解题策略，注意解题思路的探索和选择，是解决求和型数列不等式的基本方法.