借力数形结合破解函数难点

在函数综合问题的解决过程中，遇到函数的零点存在性问题、零点个数及应用函数思想理解不等式恒成立问题时，常常难于理解，如果借力数形结合，这些问题都会很直观的呈现出来.

下面举例说明应用数形结合思想理解和解决这些难点问题.

一、借力数形结合，破解函数零点问题

题目1设函数f(x)=ax2-2x+2,函数f(x)在(1,4)上有零点，求a的取值范围.

分析：令f(x)=ax2-2x+2=0,a=2x-2x2=2［-(1x)2+1x］

设1x=t,t∈(14,1),a=2(-t2+t),t∈(14,1)

原题可化归为：函数y=a和函数g(t)=2(-t2+t),t∈(14,1)有交点.

如图（1）可知：g(1)

图(1)

点评：函数f(x)零点存在性问题，可令f(x)=0，通过分离变量，将题目化归为动直线与定函数有交点的问题，即：a的取值范围即为函数g(t)=2(-t2+t),t∈(14,1)的值域.

题目2设函数f(x)=ax2-2x+2,函数f(x)在(1,4)上有一个零点，两个零点时，分别求a的取值范围.

分析：由题目1，结合图（1）可知：

函数f(x)在(1,4)上有一个零点，即：g(1)

函数f(x)在(1,4)上有两个不等零点，即：g(14)

点评：此题是一元二次方程根的分布问题，涉及到在区间内有一个根、两个根等情况.此题有多种解题方法，此处数形结合的应用可以减少分类讨论，通过分离变量，将题目化归为动直线与定函数交点个数问题.

题目3（2011年天津卷第3问另解）已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.证明：对任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

分析：f(0)=t－1,f(12)=－12t2+7t－24,f(1)=－6t2+4t+3

（1）当0

（2）当t=1时，f(12)=-74,f(1)=1,故f(12)・f(1)

（3）当t>1时，f(0)>0，f（12）

综合（1）（2）（3）可知：对任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

点评：连续函数，区间端点值异号，则函数在该区间内必有零点；反过来证明函数在某区间内有零点时，结合二分法可研究端点值的符号是否异号来解决.借力数形结合，理解零点存在性定理及二分法的知识是最为有效的方法，在解决问题时会起到简便的效果.

题目4（2011年同济大学等九校联考）若关于x的方程|x|x+4=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）

点评：本题已知a的取值范围，可将a作为自变量，那么函数f(x)可看做关于a的一次函数g(a),这样，对于一条直线，结合直线图像可知，只要直线上两个端点函数值都大于2，那么，该直线两端点之间的函数值都会大于2.

由此，“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来.