时间：2022-06-19 11:45:53
许多数学问题直接根据数量关系求解显得较为繁难，但若能将欲解（证）的问题转化为与之相关的图形问题，再根据图形的性质和特点进解题，将会使问题的解答简易直观、别具一格.但在数形结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则.如果违反了上述原则，常常会步入数形结合的误区，下面从四个方面阐述数形结合不当而引起的错误.
一、数形结合中无中生有产生错解
借形解题有独到的效果，但若忽视图形的存在性，只凭主观想象，无中生有，则会造成错解.
例1已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离.
错解：如图1，F（14,0)为抛物线的焦点，l′为其准线，AEl′，BGl′，MNl′,E、G、N为垂足，则xM+14=|MN|=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=l2，所以xM≥l2－14，即AB的中点M到y轴的最短距离l2－14.
图1
分析：上述解法中不等式取等号的条件为动弦AB过焦点，经过抛物线焦点的弦中，以通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）最短，而抛物线y2=x的通径为1，因此，当l
点评：此题运用函数分析法，问题得到圆满解决，所以应注意到数形结合法的局限性，对于本题还是要放在函数的单调性上来分析解决最值问题.
二、数形结合图形失真产生错解
借形解题，不仅要画出相应图形的大致草图，而且要尽量准确地描绘出图形；必要时还需对图形的直观分析给出严密性的推理.
例2方程x2=2x的解的个数为（）
A． 0B． 1C． 2D． 3
错解：在同一坐标系内作出函数y=x2,y=2x的图象，如图2所示，它们有两个交点，故选C.
分析：此题由于草图粗糙而导致误判，事实上，当x0时，考察函数y=x2和y=2x的增长“速度”变化，即知它们有两个交点，即（2，4）和（4，16），故正确答案应为D.
图２
三、数形结合以偏概全产生错解
借助图形解题时，必须考察图形的所有可能性，思维严谨，来反映代数性质的全貌，以求得问题的完整解答.
例3已知直线y=3－x和坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围.
错解：令f(x)=－x2+mx－1，结合图3知抛物线和AB有两个交点需满足：f(0)≤3
f(3)≤0
0≤m2≤3
f(m2)>3－m2,解之得－1+17
图３
分析：上述解法错误地认为抛物线的顶点需在线段AB上方，事实上它忽略了顶点在线段AB下方而抛物线与AB有两交点的情形
正解：将y=3－x代入抛物线方程即得x2－(m+1)x+4=0，欲满足题设条件，只须此方程在［0，3］内有两不同实根，令f(x)=x2－(m+1)x+4，则
f(0)≥3
f(3)≥0
Δ>0，解之得3
四、数形结合逻辑循环产生错解
在许多问题中，图形的直观结论是依靠数式关系来刻画的，此时，若用图形的直观结论（未经严密论证）来证明数式关系，便往往会步入逻辑循环的误区.
例4已知等差数列{an}及等比数列{bn}中，a1=b1，a2=b2，且这两个数列都是严格递增的正项数列，求证：当n>2时，an
错证：设{an}的公差为d(d>0)，{bn}的公比为q，则an=dn+(a1－d)，bn=b1qn－1，从而，点(n,an)在直线y=dx+a1－d上，点(n,bn)在曲线y=b1qx－1上，由已知它们必有两个交点A(1,a1)和B(2,a2)，由图4知，当n>2时，an
图４
分析：题目欲证n>2时an2）正是我们所要证明的等价命题，由于直线和指数类函数曲线的位置关系未经严密论证，故上述证法属于逻辑循环的误证，事实上，此题我们可以给出一个简捷的代数证法.