神奇的勾股树

数学是发展学生思维能力的一门重要学科，在提高人的推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力等方面有着独特的作用。然而许多教师在教学过程中并没有很好的处理知识获得与思维发展的关系，对很多问题的处理停留在知识表面，就题讲题，没有适时地将学生的思维引向深入。本文以神奇的勾股树为例，浅谈如何利用看似简单的问题，将学生的思维引向深入，在深入思考、积极探究中学会研究数学问题的一些基本方法，感受数学的内在之美。

学过勾股定理的同学都知道，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这一定理也可以用图1表述为：以RtABC的三边为边长分别作3个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积。我们把图1叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树，为什么叫做勾股树呢？接着往下看，我们让图1中两个小正方形的顶部各自长出一幅新的勾股树，如图2，它们是第二代勾股树，它们的形状与第一代勾股树完全相同，只是尺码变小了。从第二代勾股树出发，又可以分别作出第三代勾股树，这样一生二、二生四、四生八，继续繁殖下去，就长成了图3那样的大树，整棵大树完全是由图1那样的基本勾股树组成的，我们把图3叫做勾股树，名副其实。

通过改变第一代勾股树中RtABC三边的比例，或者在繁殖过程中适当改变两条直角边的方向，可以得到不同形状的勾股树，如图4，学生一定会为如此美妙的图形感叹不已，在数学美的引领之下，在老师的启发之下，饶有兴致地研究更多的问题。

在图2中，正方形D、E的面积之和等于正方形B的面积，正方形F、G的面积之和等于正方形C的面积，正方形B、C的面积之和又等于正方形A的面积，所以正方形D、E、F、G的面积之和等于正方形A的面积。如果我们把D、E、F、G看作树叶，B、C看作树枝，A看作树干和树根，这样的情形可谓“万千枝叶皆归于根”，所有树枝、树叶的营养都来自于树根！

现在我们来研究基本勾股树（图1）的一些有趣的性质：

首先，我们把RtABC周围的正方形试着改成等边三角形、等腰直角三角形、半圆，看上述性质是否还成立？

对于图5-1、5-2、5-3的研究就留给读者朋友，等式S1+S2=S3对于这几个图形都成立。对于图5-4，我们设图中两个空白部分的面积分别为m、n，三个阴影部分面积分别为S1、S2、S3，由图5-3中两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积可知，（S1+n）+（S2+m）=S3+m+n，等式两边消去m+n即可得S1+S2=S3仍然成立。

然后，我们把相邻两个正方形的相邻两边组成的三角形作出来，看看这些形状各异的三角形，它们有共同的性质吗？答案肯定是有的。如图6-1，我们不难证明DFC≌ABC，故SDFC=SABC.那么ANE与BMG的面积也和ABC的面积相等吗？我们以BMG为例进行简要说明。

同理可证SANE=SABC，故基本勾股树周边的3个三角形面积都相等，都等于ABC的面积。

如果我们把ABC改成一般三角形，如图6-2，上述结论还成立吗？

仿照上述方法，我们不难证明RtBCQ≌RtBGH仍然成立，故SBMG=SABC仍然成立，ANE、CDF、BMG的面积都相等，都等于ABC的面积。

对于勾股树的研究还远远没有结束，前人已经总结出来的知识固然可以直接加以利用，但是我们在前人研究的基础之上，利用我们有限的知识，多多地进行这样的研究，我们会有一种前所未有的成就感.教师在新课教学、习题讲评中，常常用这样的方式，用类比、联想、演绎等方法，对数学问题进行一题多解、一题多变，充分挖掘习题的教学功能，让学生掌握研究数学问题的方法，也感受到数学的内在之美，将学生的思维引向深入，这样才能让我们的学生跳离题海，真正提高分析问题、解决问题的能力，培养创新意识和创新能力，从而理解学习数学的真正意义，那就是用数学的思想方法去研究和解决实际问题。