绳拉船模型的速度分解及其应用

■ 一、 问题的由来

大家经常会遇到这样的关于速度分解的题目：如图1所示，某人站在岸上通过绕过定滑轮的绳子向岸边拉船，他拉绳子的速率v保持不变，当拉船的绳子与水平面成θ角时，船前进速度u为多大？

初次接触这道题目，学生最易出现的速度矢量分解图有两个，见图2、图3，两个图所得到的结论均为u=vcosθ.

■ 二、 问题的分析

图2错误的原因是没有分清哪个是研究对象，哪个速度是合速度. 而是把绳收缩的速度作为合速度，把它按水平和竖直方向正交分解，因小船是沿水平方向运动，所以这样的分解中竖直向上的分速度是没有物理意义的，结论自然也是错误的.

图3分解的虽是实际速度，即合速度，但没有正交分解，错误原因是其中的一个分运动并不是竖直向下的，而应是绳以定滑轮O为轴沿顺时针方向的转动，这个分运动的方向应垂直于绳.

另外，由刚才两图得到的结论都表明u＜v.倘若小船经过一个极短时间Δt从位置A运动到位置B，如图4所示，则AB线段表示小船在这段时间内的位移大小，而OA与OB之差则表示这段时间内绳子收缩的距离，也即人的位移大小，很显然OA与OB之差小于AB，同除以时间Δt应得到u＞v，这也与刚才的结论不符合.

■ 三、 问题的解决

其实，当认为绳子不可伸长时，对于用绳联结的两个物体，若速度沿绳方向，则两物体速度必相同，否则绳子就处于松弛状态或者被拉断了；若两物体速度不沿绳子方向，则两物体速度在沿绳方向的分量必定相同. 本题中，人的速度全在沿绳方向上，因此，只要将小船速度沿绳方向和垂直绳子方向进行分解（垂直绳子方向的分量表示小船绕O点的转动），再令两物体沿绳方向的速度相等即可求出. 作出速度矢量的平行四边形. 由图5可知船的速度大小为：

u=■.

■ 四、 模型的应用

■ 例1 如图6所示，物块A通过光滑的定滑轮用细绳与圆环B相连，A位于光滑的水平桌面上，B套在光滑的竖直杆上. 当细绳与水平方向的夹角为θ时，A的速度为v，此时B的速度u为多少？

■ 解析 B的速度u为“实际速度”，即合速度. 将B的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，如图7所示. 由图可得：

u=■.

■ 例2 如图8所示，在水平面上小车A通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块B，小车A的速度为v1＝5 m/s.当细绳与水平方向的夹角分别为30°和60°时，物块B的速度v2为多少？

■ 解析 将A、B的速度v1、v2都分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，在沿绳的方向上A、B的速度相等，即：

v1cos30°=v2cos60°

所以v2=5■ m/s.

■ 例3 如图9所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M. 滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H. 某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率vM.

■ 解析 杆的端点A点绕O点做圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：

vA=ωR.

对于速度vA作如图10所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率vM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以

vM=vAcosβ.

由正弦定理知，

■=■.

由以上各式得vM=ωHsinα.

■ 五、 模型的延伸

上面的分解方法对于求解面接触物体的速度问题也是可以的.

■ 例4 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动. 在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图11所示. 当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度.

■ 解析 将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出.设竖直杆运动的速度为v1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以v0、v1在OP方向的投影相等，即有

v0sinθ=v1cosθ，

解得v1=v0tanθ.

对于连接体中物体之间的速度关系分析思路是：把两物体的速度沿着某一共同的方向进行分解，如例2中的绳子方向，例4中的弹力方向，利用在该方向上的速度分量相等建立关系式进行求解.