利用方程(组)\不等式(组)解决实际问题

方程(组)与不等式(组)是刻画丰富多彩的现实世界数量关系的重要模型,是初中数学的重点内容,在生活中的应用十分广泛.

一、旅游租车问题

例 1某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李;乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.

(1)设租用甲种辆汽车,请你帮助学校设计所有可能的租车方案.

(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别是2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.

(1)分析:其中蕴含两个不等式关系:

①两种汽车载的人数不少于290人.②两种汽车载的行李不少于100件.

解:设租用甲种汽车辆,则乙种汽车(8-)辆.

根据题意,得

40+30(8-)≥290,

10+20(8-)≥100,

解得5≤≤6.

因为取整数,

所以=5或=6.

有两种租车方案:①甲5辆 乙3辆 ②甲6辆 乙2辆.

(2)方案①租金为:

5×2000+3×1800=15400;

方案②租金为:

6×2000+2×1800=15600.

故方案①省钱.

二 、商品销售问题

例 2 某商品的进价是2000元,标价3000元,商店决定打折销售,但要求利润率正好是5%,售货员可以打几折销售?

分析:打几折,就是商品原价的十分之几,设打折,则售价为■×原价,题中相等关系是:利润率=■.

解:设售货员可以打折,根据题意,得

3000×■ - 2000=5%×2000

解得 =7.

三、上网问题

例 3 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务.甲种每月缴15元月租费,然后每通话1分钟,再付0.2元话费,乙种不缴月租费,每通话一分钟付话费0.4元,若1个月通话时间为分钟.请你根据一个月通话时间,选择较优惠的通讯业务.

分析:甲用户1个月费用(15+0.2)元,乙用户1个月费用 0.4.

解:设1个月通话时间为分钟.根据题意,得

① 若甲、乙费用相等,则

15+0.2=0.4,

解得 =75.

即=75分钟,两种方式一样.

② 若甲费用大于乙费用,则

15+0.2>0.4,

解得

即

③ 若甲费用小于乙费用

15+0.2

解得:>75

即>75分钟,选甲种费用低.

四、比赛积分问题

例 5 足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支球队打14场,负5场,共得19分,这支球队胜了多少场?

解:设这支球队胜了场,则平了(14-5-)场.根据题意,得

3+(14-5-)=19,

解得 =5.

五、不满也不空问题

例5 一伙女生住若干间宿舍,每间住4人,剩下19人没房住;每间住6人,有一间宿舍住不满.问有多少间宿舍,多少名学生?

解:设有间宿舍,则有(4+19)名女生.

根据题意,得

6>4+19,

6(-1)

解得 9.5

因为是正整数,所以取10,11或12.

所以有三种可能:①10间宿舍,59名学生;②11间宿舍,63名学生;③12间宿舍,67名学生.

六、配套问题

例6 一张方桌由1个桌面和4根桌腿做成,已知1m3木料可做桌面50个桌腿300个,现有10m3木料,问恰好能做多少张桌子?

分析:题中的相等关系:桌腿=4×桌面

解:设用m3制作桌面,ym3制作桌腿,恰好配成方桌.

根据题意,得

+y=10,

50×4=300y,

解得=6,

y=4.

七、镶嵌问题

例 7如图:用七块大小形状相同的小长方形瓷砖镶嵌后四边形ABCD周长为68的长方形,求长方形的面积.

分析:设长方形长为,宽为y,根据长方形对边相等及公式周长公式列方程组,求出长宽进而求面积.

解:设小长方形长为,宽为y.根据题意,得

2=5y,

2(3+y)=68,

解得=10,

y= 4.

长方形面积=2(+y)=2×10×(10+4)=280.