浅谈微分相关理论在经济比较静态分析中的应用

摘　要：应用微分学的全微分、隐函数等相关理论，对经济比较静态分析进行了较为详细的讨论。分别利用对不同的经济理论模型的分析过程，展示了相关微分理论在非目标均衡和目标均衡比较静态分析中的具体运用。为将基本思想和基本方法移植到对其他模型分析的应用提供了方便。

关键词：微分相关理论；全微分；隐函数；比较静态分析；非目标静态均衡；目标静态均衡

中图分类号：F22 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2012）18-0004-07

微分理论在经济分析中的应用极为广泛。在经济分析的众多领域它都作为方便而重要的工具帮助我们解决实际问题，诠释和检验经济模型。其在经济学比较静态分析中的运用即是明例。比较静态分析是经济分析的一个重要区域。它涉及两种与不同参数值和内生变量相联系的不同均衡状态的比较，主要解决均衡移动问题。弥补由于调整较长时间才能完成，若期间某些外生变量发生变化，在特定静态分析框架中决定的静态均衡在它最终达到之前就失去其实际意义的不足。本文将对微分相关理论在比较静态分析中的应用进行粗浅的探讨。

一、微分学的相关理论成果

（一）一元函数微分

设函数y=f（x），在数集X?哿R上有连续的n阶导数，记为f?奂Cn。则

1. y=f（x）的微分记为dy，且dy=df=f′（x）dx dx≠0 （1）

其中，f′（x）=■■，Δy=f（x+Δx）-f（x）。

2. f′（x）的几何意义是曲线y=f（x）在点（x，y）处切线的斜率。

3. y=f（x）可微?圳f′（x）存在?圳Δy=f′（x）Δx+o（Δx），其中■■■=0。

当Δx很小时，Δy≈dy=f′（x）dx，dx Δx （2）

4. 无论x是自变量或x=g（z）为z的可微函数，dy=f′（x）dx恒成立，此性质称为微分形式的不变性。

5. 若在区域（x1，x2）内f′（x）>0，则y=f（x）为严格增函数，曲线上任意点的切线向右上方倾斜，可简记为■；若在区域（x1，x2）内f′（x）

6. y=f（x）的n阶导数（n∈N+），记为f （n ）（x）■。

其中f （n ）（x）■f （n-1 ）（x） （3）

（二）多元函数的微分

设y=（x1，x2，…，xn），（n∈N+）有连续二阶偏导数。则：

1. dy=■■dxi （4）

称（4）式为y=f（x1，x2，…，xn）的全微分，其中■为将xj（j≠i）视为常数时y对xi导数，称为y对xi的一阶偏导数。以下符号可通用■fifxi■f。又称■（■）=■为y的二阶偏导数，记为fxixjfij。当i=j时，称为二阶纯偏导数，记为■，当i≠j时，称为二阶混合偏导数。

2.当xi=gi（x）且gi（x）可微时，有:

dy=■■dxi=■■■dx?圳■=■■■ （5）

称■为y=f（x1，x2，…，xn）对x的全导数。

（三）隐函数的微分

1.n元函数集的雅可比行列式

设有具有n个变量的n个可微函数集：

yi=f i（x1，x2，…，xn） （i=1，2，…，n） （6）

其中f i表示第i个函数。则：

dyi=■dx1+■dx2+…+■dxn=■■dxj （7）

记■=y1y2■yn，J=■n×n，■=x1x2■xn则d■=dy1dy2■dyn，d■=dx1dx2■dxn

（7）式可表示成矩阵等式d■=Jd■ （8）

n阶方阵J=■n×n■n×nf ijn×n （9）

称为函数集（6）的雅可比矩阵。同时称J的行列式|J|为函数集（6）的雅可比行列式。

2.隐函数定理

形如y=f（x1，x2，…，xn）的函数称为显函数；形如F（y；x1，x2，…，xn）=0的函数方程所确定的函数称为隐函数。

定理1 （隐函数存在定理）：

设函数方程组Fi （x1，x2，…，xn；α1，α2，…，αm）=0 （i=1，2，…，n） （10）

其中n，m∈N+。若方程组（10）满足：

（1）对所有的变量xj和变量αk，函数Fi均具有连续偏导数。j=1，2，…，nk=1，2，…，m。

（2）在某点（x10，x20，…，xn0；α10，α20，…，αm0）满足方程组（10），且在该点的雅可比行列式■n×n≠0，则存在一个以（α10，α20，…，αm0）为心的邻域∑，在此邻域内，变量x1，x2，…，xn是变量α1，α2，…，αm的函数。这些隐函数满足：■ （11）

对邻域∑中的每个m维数组α1，α2，…，αm，它们也满足方程组（10）——因而在此邻域中使得（10）成为一组恒等式。而且隐函数f 1，f 2，…，f n连续，且对所有的α1，α2，…，αm具有连续偏导数[1]。

3. 矩阵■n×m的求解公式

在隐函数存在的前提下，对方程组（10）进行全微分，得

■■dxj=-■■dαk■■dxj=-■■dαk …………………………■■dxj=-■■dαk （12）

显然，（12）式等号左端可以写成■n×nd■=Jd■ （13）

而（12）式等号右端可以写成-■n×m d■=-Cd■（14）

其中C=■n×m d■=（dα1，dα2，…，dαm）T

再注意到

d■=dx1dx2■dxn=f 11 f 12 … f 1mf 21 f 22 … f2m… … … …f n1 f n2 … f nmdα1dα2■dαm=Bd■ （15）

其中f jk=■，B=f ikn×m 。 于是有JBd■=-Cd■ （16）

由隐函数存在定理的假设，雅可比行列式|J|≠0。故知雅可比矩阵J为可逆矩阵。对式（16）左乘J-1得：

Bd■=-J-1Cd■

由d■≠0的任意性，可知B=-J-1C

即■n×m =f ikn×m =-J-1■n×m [2] （17）

是我们所要寻求的隐函数导数用矩阵表示的公式。

特别，当n=1时，J=■。若■≠0，则：

■=-■■■ ■■ （18）

当n=1且m=1时，有■=-■ （19）

二、在非目标均衡比较静态分析中的应用

非目标均衡是指模型中的某些相反力量——譬如市场模型中的供给与需求以及国民收入模型中的注入与漏出——恰好处于彼此相等、相互平衡的状态，因而排除了进一步变化的趋势。这种均衡的实现是这些力量非人为平衡的结果，不需要有关参与人有意识地努力以实现特定目标。下面我们通过对较典型非目标均衡模型的比较分析，展示微分相关理论的具体应用。

（一）市场模型的静态比较分析

1.线性模型的分析

考察单一商品市场中的线性供需均衡模型。该模型由以下三个方程描述：

需求方程Qd=α-βP （α>0，β>0）

供给方程QS=-γ+δP （γ>0，δ>0） （1）

均衡方程Qd=QS （市场出清）

由均衡方程Qd=QS=Q，得到方程组

F1（Q，P；α，β，γ，δ）=Q-α+βP=0F2（Q，P；α，β，γ，δ）=Q+γ-δP=0 （2）

其中Q，P为内生变量。这是一个以Q，P为未知量的线性方程组：

Q+βP=αQ-δP=-γ?圯1 β1 -δ QP=α-γ

|J|=F1Q F1PF2Q F2P=1 β1 -δ=-（β+δ）

|J|=1 β1 -δ J-1=■J*=■-δ -β-1 1

?圯P*Q*=■-δ -β-1 1α-γ=■βγ-αδ-（α+γ）

?圯Q*=■（αδ-βγ>0才有经济意义） P*=■

（Q*，P*）为平衡点，这里Q*，P*为α，β，γ，δ的显性函数，可以直接求得比较静态的八个偏导数：

以上偏导数大于零，指明两者正相关；偏导数小于零，则告诉我们两者负相关。

现在运用隐函数定理解这个n=2，m=4的隐函数方程组的比较静态导数矩阵。F1，F2有连续二阶偏导数显然。在均衡分析中一般总是假设初始均衡点存在（否则无比较意义）。因此，验证隐函数存在条件的主要工作是验证雅可比行列式|J|≠0。

前面已经计算过|J|=-（β+δ）

dF1=F1Q*dQ*+F1P*dP*=-（F1αdα+F1βdβ+F1γdγ+F1δdδ）dF2=F2Q*dQ*+F2P*dP*=-（F2αdα+F2βdβ+F2γdγ+F2δdδ）

?圯1 β1 -δdQ*dP*=--1 P* 0 0 0 0 1 P*dαdβdγdδ?圯JdQ*dP*=-Cdαdβdγdδ，

关于所求到的偏导数矩阵元素的符号可用如下方法表示：

现在得到的结果与前面用显函数直接求得的完全一致。但需要指出：首先，此方法即使在Q*，P*无法解出的情况下，仍可由P*>0判定各偏导数的符号；其次，当外生变量较多时，运用隐函数定理可以方便地利用矩阵运算得出以比较静态导数为元素的矩阵，从而使运算变得有效率且结果表达相对简洁。

2.需求与收入相关的模型分析

继续考察单一商品市场，更接近真实世界的情形是：需求量Qd不仅是价格P，而且是外生确定的收入（记为Y0）的函数，但供给量QS则仅是价格的函数；另外，行为方程Qd与QS也未必一定是线性函数。如果这些函数并未以具体形式给出，则模型可以用下列方程描述：

需求方程Qd=D（P，Y0） （ ■0）

供给方程QS=S（P） （■>0）

平衡方程Qd=QS （3）

假设函数D和S均拥有连续偏导数；而且，为了保证其经济意义，对导数符号施加明确的限制。如■>0——收入增加引起需求增加（研究的商品是正常商品）。为观察分析外生变量Y0的变化对内生变量Q，P在初始均衡点（Q*，P*）的影响，需要求解偏导数■和■。现在，利用隐函数方程组来解决所面临的问题：

首先，令方程组（3）中的Qd=QS=Q*，并重新排列，可将模型表示成方程组：

F1（Q*，P*；Y0）=D（P*；Y0）-Q*=0F2（Q*，P*；Y0）=S（P*）-Q*=0 （4）

其雅可比行列式：

|J|=F1Q* F1P*F2Q* F2P*=-1 ■-1 ■=-■+■

存在隐函数Q*=Q*（Y0）P*=P*（Y0） （5）

这是方程组（10）当n=2，m=1的情况。经过简单运算得到

雅可比矩阵J=-1 ■-1 ■ J的伴随矩阵J*=■ -■-1 -1

雅可比矩阵的逆矩阵J-1=■J*=■■ -■1 -1

欲求偏导数矩阵B=■■■■ （因为m=1的缘故）

隐函数方程组对F1，F2外生变量组的偏导数矩阵：C=F1Y0F2Y0=■ 0

由计算公式（17）

矩阵B的元素符号简单表示为：Q*=Q* ■ P*=P* ■。这里的结果告诉我们，收入的提高（下降）将会导致正常商品市场出清的商品数量和价格提高（下降）。

（二）国民收入模型（IS—LM）的静态比较分析

隐函数定理的典型应用是在一般形式的IS—LM模型中。这一宏观经济模型中的均衡由同时导致商品市场和货币市场均衡的收入水平和利率来刻画。下面先对其封闭的一般模型比较静态分析进行讨论。

1. 商品市场的IS曲线

（1） 商品市场模型的方程描述

均衡方程Y=C+I+G （6）

消费函数C=C（Y-T）；政府支出外生G=G0；

投资函数I=I（r） ■

税收函数T=T（Y），■∈（0，1），因为T′（Y）为边际税率；

可支配收入函数Yd=Y-T?圯C=C（Yd），■=C′（Yd）∈（0，1），

因为■=C′（Yd）（Yd）′=C′（Yd），C′（Yd）为消费者倾向。

将函数C，I，T分别代入均衡方程（6），得到

Y=C[Y-T（Y）]+I（r）+G0 （IS曲线） （7）

方程（7）是关于两个内生变量Y和r的方程。此方程给出了所有能导致商品市场均衡的Y与r的组合，从而隐含地定义了IS曲线。

（2）IS曲线的斜率（将Y视为横轴，r视为纵轴）

IS曲线本质上是一个恒等式，将其重写为：

Y-C（Yd）-I（r）-G00 （8）

将式（8）对Y和r求全微分，得

dY-C′（Yd）[1-T′（Y）dY-I′（r）dr=0]，其中dYd=d（Y-T）=[1-T′（Y）]dY。

重新排列含有dY和dr的各项，得到IS曲线斜率（■）的表达式

■=■ （9）

由C′（Yd）∈（0，1），[1-T′（Y）]∈（0，1）?圯1-C′（Yd）[1-T′（Y）]∈（0，1），I′（r）

2. 货币市场的LM曲线

（1）货币市场模型的方程描述

货币需求函数Md=L（Y，r），LY=■>0，Lr=■

货币供给函数MS=MS0，货币供给由中央货币当局外生地决定。

均衡方程Md=MS （10）

将前两个方程代入均衡方程（10），得到隐含定义的LM曲线的下面表达式，它在本质上也是一个恒等式

L（Y，r）MS0 （11）

（2）LM曲线的斜率

将方程（11）重写为L（Y，r）-MS00 （12）

将方程（12）对Y和r进行全微分，得

LYdY+Lrdr=0?圯■=-■ （13）

由LY>0且Lr0，即LM曲线向右上方倾斜。

3. IS—LM模型的比较静态分析

由方程（8）和（12）得到如下方程组

F1（Y，r；G0，MS0）=Y-C（Yd）-I（r）-G0=0F2（Y，r；G0，MS0）=L（Y，r）-MS0=0 （14）

为了保证隐函数的存在，检验在初始均衡点（Y*，r*）处的雅可比行列式

|J|=F1Y* F1r*F2Y* F2r*=1-C′（Yd）[1-T′（Y*）] -I′（r*） LY* Lr*

={1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]}Lr*+LY*I′（r*）

由于1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]∈（0，1），Lr*0,I′（r*）

可知|J|

故存在隐函数Y*=Y*（G0，MS0）r*=r*（G0，MS0） （15）

且Y*，r*具有连续的偏导数。

这是隐函数方程组（10）当n=m=2的情形。经过运算可以得到：

J-1=■Lr* I′（r*）-LY* 1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]，B=■ ■■ ■

C=F1G0 F1■F2G0 F2■-1 00 -1

又由计算公式（17） ，B=-J-1C立即得到：

B=■ ■■ ■=■Lr* I′（r*）-LY* 1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]

符号指示为：■ ■

由符号指示可以看出，G0与Y正相关，MS0与Y也正相关，说明加大政府支出或采取宽松货币政策是刺激经济增长的有效措施。而G0与r正相关，MS0与r负相关，可以解释为增加政府开支会提高利率，进而压制投资、抑制经济增长，抵消直接刺激经济的积极影响；宽松的货币政策则会降低利率，拉动投资，促进经济增长。这正是我们要追寻的理论结果。

（三）开放型模型的比较静态分析

对一个经济模型所要求的特性之一是稳健性，即这个模型能够在不同背景下的应用程度。现将（二）中的IS—LM模型扩展到开放的背景下，它包含外国部门的情况。

1. 外国部门的方程描述

出口X=X（E），X′（E）>0，E为汇率（用外币的本国价格来测量）

进口M=M（Y，E），MY>0，ME

资本净流动K=K（r，rw），Kr>0，Krw

国际收支平衡[X（E）-M（Y，E）]+K（r，rw）=0 （16）

2. 开放经济均衡模型方程组

在开放经济模型中，均衡有三个条件：总收入等于总支出；货币需求等于货币供给；国际收支余额等于零。在IS—LM模型中加上外国部分得到下面由三个方程构成的方程组：

F1（Y，r，E；G0，MS0，rw）=Y-C（Yd）-I（r）-G0-X（E）+M（Y，E）=0F2（Y，r，E；G0，MS0，rw）=L（Y，r）-MS0=0F3（Y，r，E；G0，MS0，rw）=X（E）-M（Y，E）+K（r，rw）=0 （17）

由此均衡方程组得到在初始均衡点（Y*，r*，E*）处的雅可比行列式（为了简洁，下面省略“*”号，但应记住以下计算均在该点计值，以免导致混淆）：

|J|=F1Y F1r F1EF2Y F2r F2EF3Y F3r F3E=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r） ME-X′（E） LY Lr 0 -MY Kr X′（E）-ME

按第三列拉普拉斯展开，则：

|J|=[ME-X′（E）]LY Lr-MY Kr+[X′（E）-ME]1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′Lr（r） LY

=[ME-X′（E）]（LYKr+LrMY-LYI′（r）-Lr{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}-LrMY）

=[ME-X′（E）]{（LYKr-LYI′（r）-Lr[1-C′（1-T′）]}

存在隐函数Y*=Y*（G0，MS0，rw），r*=r*（G0，MS0，rw），E*=E*（G0，MS0，rw）

且Y*，r*，E*具有连续的偏导数。

此例为隐函数方程组（10）n=3，m=3的情况。经过整理计算得到：

雅可比矩阵J=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r） ME-X′（E） LY Lr 0 -MY Kr X′（E）-ME

雅可比伴随矩阵J*（为简洁计，将{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}>0记为α；X′（E）-MY>0记为β;{I′（r）-Kr}

J*=Lrβ γβ Lrβ-LYβ αβ -LYβLYKr+LrMY-Krα+MYγ Lrα+LrMY+LYI′（r）

雅可比矩阵的逆矩阵为：J-1=■J*

要求取的偏导数矩阵为：B=Y*G0 Y*■ Y*rwr*G0 r*■ r*rwE*G0 E*■ E*rw

外生变量偏导数矩阵为：C=F1G0 F1■ F1rwF2G0 F2■ F2rwF3G0 F3■ F3rw=-1 0 00 - 1 00 0 ■

B=-J-1C=■Lrβ βγ -■Lrβ-LYβ αβ ■LYβKrLY+LrMY-Krα+MYγ -■[Lrα+LrMY+LYI′（r）]

经过分析易知B的各元素符号用矩阵示意如下：+ + ++ - +? + +，其中问号表示符号不确定。

现仅对第三列的符号作如下解释：直观上，世界利率的上升能够增加资本的外流，使本国货币贬值。这反过来导致净出口和收入增加。国内收入的增加会增加货币的需求，对于国内利率产生上升压力。

三、在目标均衡模型比较静态分析中的应用

所谓目标均衡是指给定经济单位，而且这些单位主动谋求均衡的实现。择优过程就是寻求目标均衡的过程。最优化作为一种特殊类型的比较静态分析，自然也可以用于研究比较静态方面的问题。其基本思想仍然是求出任意参数（模型中的外生变量）的变化将如何影响模型的均衡状态。只不过在这里模型的均衡状态是指选择变量的最优值（以及目标函数的最优值）。下面以一个在完全竞争环境中的单产品厂商行为模型为例，说明微分理论如何帮助我们在目标均衡时进行比较静态分析。

1.一般模型的分析

假设一个厂商运用投入x1和x2生产单一产品Q，投入的价格p1，p2及其产出品的价格p不能为该厂商所控制。可以构建如下模型：

生产函数Q=Q（x1，x2） Q（x1，x2）?奂C2，Q1>0，Q2>0

?圯总收益函数R=pQ（x1，x2）

总成本函数C=p1x1+p2x2

?圯利润函数π=R-C=pQ（x1，x2）-p1x1-p2x2 （1）

其中，x1，x2为选择变量；p，p1，p2为外生变量。

均衡条件π1■=0，π2■=0（择优一阶必要条件）

即π1=pQ1-p1=0π2=pQ2-p2=0 （2）

假定最大化的二阶充分条件满足（否则无从比较）。即海赛矩阵：

H=π11 π12π21 π22=π11 π12π12 π22=pQ11 Q12Q12 Q22

为负定矩阵。满足：一阶顺序主子式|H1|=π110

?圳Q11Q22-Q212>0

因为Q（x1，x2）?奂C2，所以π（x1，x2）?奂C2?圯Q21=Q12?圳π21=π12;另外，上面最后结果中暗含Q22

令F1（x1，x2，p，p1，p2）=pQ1-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=pQ2-p2=0 （3）

其雅可比行列式为

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=p2Q11 Q12Q12 Q11=|H|>0 （4）

故存在隐函数x*1=x*1（x1，x2，p，p1，p2）x*2=x*2（x1，x2，p，p1，p2），且函数x*1，x*2具有连续偏导数。

方程组（3）是方程组（10）当n=2，m=3的情况。在均衡点（x*1，x*2）有：

J=pQ11 Q12Q12 Q22?圯j-1=■J*=■Q22 -Q12-Q12 Q11

B=■ ■ ■■ ■ ■，C=F1p F1p1 F1p2F2p F2p1 F2p2=Q1 -1 0Q2 0 -1

由B=-J-1C

?圯■ ■ ■■ ■ ■=-■Q22 -Q12-Q12 Q11Q1 -1 0Q2 0 -1

=-■Q2Q12-Q1Q22 Q22 -Q12 Q1Q12-Q2Q11 -Q12 Q11

显然，B的元素的符号可以根据Q12的符号确定，即：

Q12>0，B的元素符号矩阵示意为：+ - -+ - - （5）

Q12

2. 一个具体函数的分析

为使上述模型的分析结论更直观，下面对一个生产函数Q（x1，x2）为具体形式的例子

进行分析。假定厂商具有如下的生产函数：

Q（x1，x2）=xα1xβ2 （α>0，β>0；α+β

则利润函数（1）的具体形式为：

π=pxα1xβ2-p1x1-p2x2 （7）

为求取π的最大值点，需要依次计算

（1） 一阶必要条件（也是比较静态分析的均衡条件）

计算利润函数π的一阶偏导数，并令其为零（隐含经济学原理“边际收益等于边际成本”）。

得π1■=pαxα-11xβ2-p1=0π2■=pβxα1xβ-12-p2=0 （8）

（2） 二阶充分条件

计算利润函数的二阶偏导数，构建海赛矩阵H。并计算各阶顺序主子式，检验海赛矩阵是否负定。

π11■=pα（α-1）xα-21 xβ20

π21■=pαβxα-11 xβ-12>0 π22■=pβ（β-1）xα1xβ-22

显然π12＝π21

得到海赛矩阵H=π11 π12π21 π22=p（α-1）xα-21 xβ2 αβxα-11 xβ-12αβxα-11 xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22

（9）

一阶顺序主子式|H1|=π11

二阶顺序主子式|H2|=|H|=p（α-1）xα-21 xβ2 αβxα-11 xβ-12αβxα-11 xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22 =

p2αβ（α-1）xα-21 xβ2 βxα-11 xβ-12αxα-11 xβ-12 （β-1）xα1xβ-22 =p2αβ[（α-1）（β-1）x2α-21 x2β-22 -αβx2α-21 x2β-22 ]=p2αβx2α-21 x2β-22 [1-（α+β）]>0 （因为α+β

因此，H为负定矩阵，由均衡方程组（8）所确定的（x*1，x*2）的确为利润函数π的最大值点。

令方程组F1（x1，x2，p，p1，p2）=[π1]=pαxα-11 xβ2-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=[π2]=pβxα1 xβ-12 -p2=0 （10）

考察其雅可比行列式：

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=π11 π12π21 π22=|H|>0

存在连续可微隐函数x*1=x*1（p，p1，p2）x*2=x*2（p，p1，p2）

这是方程组（10）中n=2，m=3的情形。由于已知Q12=Q21>0，可以直接使用（5）的结论。得到所求矩阵B的元素符号表示矩阵+ - -+ - -。

四、结束语

综上所述，可以看到微分理论在非目标均衡和目标均衡模型比较静态分析中其中不可替代的重要作用。当然，微分理论在比较静态分析中的应用远不限于本文中所涉及的模型。但是，在这些模型分析中所运用的基本思路和基本方法却有一定的通用性，移植应用到其他模型上并不困难。对将微分理论运用到更多的经济均衡模型的比较静态分析中有积极意义。相信微分学的理论之花会在经济比较静态分析应用的沃土上结出更多的硕果。

参考文献：

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