从一道中考题谈起

丽水市2009年数学中考选择题第10题。如图:

已知ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l,l,l上,且l,l之间的距离为2,l,l之间的距离为3,则AC的长是()。

A.2 B.2

C.4D.7

这道选择题是有点难度的,需要学生作相应的辅助线,才能理清思路。如下图:过A,C两点作垂直于直线l的两条辅助线段AE,CF。有这两条辅助线后,相信只要知道直角三角形全等判定定理的学生都可以得到RtAEB≌RtBFC,所以有EB=CF,由勾股定理可以求得:

AB===,

AC===2。

所以这道选择题正确答案为A。

这道题目最终得以解决,用到了直角三角形的全等的判定,同时运用了两次勾股定理。有趣的是这道题本身还蕴含着勾股定理证明的一种方法,如果将上图中的直角梯形拿出来得到如下图形:两个全等直角三角形RtABC,RtBEF,两条直角边在同一条直线上,连接顶点A,E,构成一个直角梯形。

设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,

显然S=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b),

又S=S+S+S=ab+ab+c=(2ab+c)。

比较以上二式,便得a+b=c。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,证明相当简洁。据说这个证明方法是美国第二十任总统伽菲尔德证明的。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法。这在数学史上被传为佳话。

关于勾股定理的证明古代中国和古希腊的两个证明同样十分简洁,十分精彩。

1.中国方法

由边长分别为a,b,c的四个直角三角形构成一正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边。

由图:正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)。于是便可得如下的式子:

4×ab+(b-a)=c。

化简后便可得:a+b=c。

这就是初中几何教科书中所介绍的方法。这个对勾股定理进行证明的方法,据说是三国时期吴国的数学家赵爽所给出的方法。

2.古希腊方法

直角三角形三边AB=c,AC=b,BC=a直接在直角三角形三边上画正方形,如图:

容易看出,ABA′≌AA″C。

过C向A″B″引垂线,交AB于C′,交A″B″于C″。

ABA′与正方形ACDA′同底等高,前者面积为后者面积的一半,AA″C与矩形AA″C″C′同底等高,前者的面积也是后者的一半。由ABA′≌AA″C,知正方形ACDA′的面积等于矩形AA″C″C′的面积。同理可得正方形BB′EC的面积等于矩形B″BC″C′的面积。

于是,S=S+S,

即a+b=c。

这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

在欧几里得的证明方法中,以直角三角形三边为边作正方形,证明直角边上两个正方形的面积和等于斜边上的即可。其实勾股定理公式也可以变形为λa=λb+λc,也就是说,对任何相似形这个结论都等价。只要证明了勾股定理,就表明对任何相似形都成立。逆转过来看,只要对任一相似形证明等式的成立,就证明了勾股定理。

现在看上面这个图,图中隐藏了三个相似三角形,它们分别可以看作从直角三角形三边往里作出的相似形。又由于两个小三角形加起来等于那一个大三角形,因而勾股定理得证。

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