由一道教材习题谈起

【前言】由一道教材习题谈起由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。an-3an-1=-（an-1+an-2） ② 由①得an+an-1=3（an-1+an-2）＝32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=3n-2×7 ③ 由②得an-3an-1=-（an-1+an-2）=（-1）2（an-2-3an-3）=…（-1）n-2（a2-3a1）=（-1）n-1×13 ④ 由③×3＋④得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13?圯an=［3n-1×7+（-1）n-...

习题是数学教材的重要组成部分：一方面，习题可以起到复习、巩固知识，加深学生对知识理解和记忆的作用；另一方面，习题是培养学生能力的重要载体。高中数学新教材无一例外地配备了大量的例题和习题，而数列通常又是高考的压轴大题，特别是近几年考查的递推数列。一个重大的发现可以解决一道重大的题，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现，而且直接影响到学生学习质量的高低，本文将以一道习题探究待定系数法求递推数列的通项公式的求法。人教版高中数学必修5P69复习参考题B组第6题：

已知数列an中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）.求数列an的通项公式.

解：设an+xan-1=（x+2）an-1+3an-2?圯an+xan-1=（x+2）［an-1+an-2］

令x=，解得x=-3或1，

即an+an-1=3（an-1+an-2） ①

an-3an-1=-（an-1+an-2） ②

由①得an+an-1=3（an-1+an-2）＝32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=3n-2×7 ③

由②得an-3an-1=-（an-1+an-2）=（-1）2（an-2-3an-3）=…（-1）n-2（a2-3a1）=（-1）n-1×13 ④

由③×3＋④得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13?圯an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］

数列an的通项公式为an=［3n-1×7+（-1）n-1×13］

探究1.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n+1（n≥2），求数列an的通项公式.

解：设an+xn+y=2［an-1+x（n-1）+y］，整理得an=2an-1+xn-2x+y

比较an=2an-1+3n+1（n≥2）得x=3y-2x=1，解得x=3y=7，从而an+3n+7=2［an-1+3（n-1）+7］，即数列an+3n+7是以a1+3×1+7为首项，以2为公比的等比数列.

an+3n+7=15×2n-1?圯an=15×2n-1-3n-7，即数列an的通项公式an=15×2n-1-3n-7

探究2.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2），求数列an的通项公式.

解：设an+xn2+yn+z=2［an-1+x（n-1）2+y（n-1）+z］，整理得an=2an-1+xn2+（y-4x）n+2x-2y+z，比较an=2an-1+3n2+2n+1（n≥2）得x=3y-4x=22x-2y+z=1，解得x=3y=14z=23

从而an+3n2+14n+23=2［an-1+3（n-1）2+7（n-1）+23）］，即数列an+3n2+14n+23是以a1+3×12+14×1+23为首项，以2为公比的等比数列.

an+3n2+14n+23=45×2n-1?圯an=45×2n-1-3n2-14n-23，即数列an的通项公式为an=45×2n-1-3n2-14n-23.

探究3.已知数列an中，a1=5，an=2an-1+3n+n+1（n≥2），求数列an的通项公式.

解：设an+x×3n+yn+z=2［an-1+x×3n-1+

y（n-1）+z］，整理得an=2an-1-×3n+yn-2y+z，比较得-x=1y=1z-2y=1，解得x=-3y=1z=3

从而an-3×3n+n+3=2［an-1-3×3n-1+（n-1）+3］，即数列an-3×3n+n+3是以a1-3×31+1+3为首项，以2为公比的等比数列.

an-3×3n+n+3=2×2n-1?圯an=2n+3n+1-n-3，即数列an的通项公式为an=2n+3n+1-n-3.

作者单位：湖北省黄石二中数学组

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