例谈如何快速找到解题方案

拿到一道数学试题，首先要迅速解决“从何处下手”“向何方前进”这两个基本问题.也就是到底如何找到解题方案呢？笔者认为应做好以下几点.

一、识别习题的类型

如果我们着手解答一道数学试题，第一件事就是想知道：这是什么试题？它是什么形式？属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定试题的类型.要知道，识别了试题的类型，在多数情况下，我们就得到了解题的方法，因为在数学教材里，对于许多类型的习题都有解答的一般法则.

【例1】 ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cos .

（1） 求cotA+cotC的值.（2）设BA ，求a+c的值.

解析：这是一道解斜三角形的试题，而我们已经知道解斜三角形试题的一般思路是：（1）转化为角之间的关系，作三角变换；（2）转化为边之间的关系，作代数变换.用到的工具不外乎是正、余弦定理及射影定理等.

二、归结为已经解过的习题

对于一道试题，如果我们不能从中识别出类型.那么，只有设法归结为熟悉的早已解过的习题（利用变换、改变或其他方法）.具体地说就是将新的高考题转化为课本上已经解决的问题，转化为历年的高考题，这两个转化可完成50～80%的题目.

【例2】 设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.

解析：这是2005年全国高考理科卷的压轴题.有的学生将其纳入业已掌握的理论体系，看出其解题思想与2000年高考理科卷第22题完全雷同，若用函数的观点来看这道题，立即产生如鱼得水的感觉.

1.一般性解决：设l在y轴上的截距为b，则b是与A，B坐标有关的变量，结论是确定变量b的取值范围，相当于确定函数的值域，这就明确了解题的方向.从哲学意义上说，题目已经解决了.

2.功能性解决：为了确定函数的值域，需完成3件事：

（1） 求出变量b的表达式；

（2） 确定表达式中自变量的取值范围；

（3） 由以上两项具体解出b的取值范围.

3.特殊性解决：运用数学知识和数学技巧完成上述3件事，而具体在完成每一件事时，可能还要重复展开三层次解决.

第一，求变量b的表达式（函数观点）.

设l在y轴上的截距为b，则有l： y=2x+b，过点A，B的直线方程可写为：y=-

这就是变量b的表达式.

第二，确定表达式中自变量m的取值范围.

第三，求出b的取值范围.

三、抓住问题的实质，分解问题

如果遇到不熟悉的和费解的习题，那么到底怎样寻找题解呢？

方案1：“把石头一块接一块地搬开，直到露出老鼠来，扑上去，抓住它.”这就要求我们，要善于把一个问题分解为一些小问题，然后分别求解这些小问题，从而获得原问题的解决.

方案2：“围绕石碓来回走动，留心观察，看看什么地方露出老鼠尾巴没有，一旦发现老鼠尾巴，则抓住它并把老鼠从石碓里拖出来.”这就要求我们，还要善于分析问题的实质，从寻找条件与结论的目标差入手，向着减少目标差的方向前进，直捣问题的关键.

【例3】 在ABC中，已知 a2-a-2b-2c=0 （1）a+2b-2c+3=0 （2），求ABC最大角的度数.

解析：本例结论是求最大的角，而条件却是关于边的等量关系，根据三角形的边、角大小关系可知，应先由此两项条件判定出最大的边.由（1）（2）两条件的特征，可以发现共性：b，c的系数的绝对值都是2，变形为2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3

可得，b=（a+1）（a-3）4

，c=a2+34.又a>0，b>0，c>0，且由2c-2b=a+3得：c>b.由b=（a+1）（a-3）4>0，得a>3，又有c-a=a2+34-a=（a-1）（a-3）4 >0，即有c>a.

从而得c是ABC最大的边，即∠C为最大的角，根据余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，b=（a+1）（a-3）4，c=a2+34，cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，最大角为120°.

评述：认真分析发现，“∠C最大”对计算∠C有定向作用（不去计算∠A，∠B），这在思路未通之前是很有价值的，但是作为解题后的回顾，“∠C最大”的判断就成了多余的思维回路，因为计算出∠C=120°本身已兼有判断出∠C最大的功能，因而那些仅为推出∠C最大的中间环节均可删去.

改进解法：从目标出发，考虑cosC=a2+b2-c22ab，只须将b，c表示为a的函数，代入即可求出.由已知可解得：b=（a+1）（a-3）4，

c=a2+34

，代入余弦定理有cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，又因为三角形的内角和为180°，所以∠C为所求的最大角.

评述：本解法中解出b，c又消去，仍有多余的思维回路，抓住问题的实质，由cosC=a2+（b+c）（b-c）2ab

及条件变形为2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3.

启发我们：

（1）应对已知两式中的b，c升次，但保留a2不升次；

（2）应将已知两式合并成一个式子，据此，有如下更简单的解法：

由已知有

（a+2b）+2c==a2 （3）（a+2b）-2c=-3 （4）

，则（3）与（4）相乘有a2+b2-c2=-ab

cosC=a2+b2-c22ab=-12，得三角形的最大角为∠C=120°.