非线性屈曲分析方法在薄膜褶皱研究中的应用与进展

引言：

现代意义上的膜结构起源于20世纪初。由于膜结构自重轻，透光率高，抗震性能好等优点，使得膜结构迅速发展，出现了一系列优秀的建筑作品。1970年，在日本大阪万国博览会上，膜结构第一次集中展示并引起广泛的关注和兴趣。1995年以后，薄膜结构在我国的应用也日益增多，规模较大的已有130多座[1]杨庆山，姜忆南. 张拉索―膜结构分析与设计[M]. 北京: 科学出版社，2004。随着薄膜结构的广泛应用，膜材的各项性能也引起了人们的广泛关注。

膜材作为柔性材料，最重要的特性就是它的弯曲刚度特别小，其抗压缩能力很差。这种结构，在面外荷载作用下所产生的弯矩、剪力需要通过结构的变形转换成面内拉力或压力，当压缩应力超过膜材的抗压能力时，结构上的部分节点就会偏离其原来的平衡位置，出现局部屈曲现象，即产生褶皱。随着薄膜结构的广泛应用，褶皱带来的不利影响也就见凸显。褶皱的产生会不仅影响建筑物的美观，更重要的是影响结构的稳定性，同时对结构的动态性能也会产生不利影响。

目前对薄膜结构褶皱研究的方法主要有两种：数值模拟方法和实验分析方法。实验分析方法受到薄膜自身特性、实验工具、测量手段等的限制，使得目前仅能对部分简单的结构形式采用实验分析的方法进行研究，所得到得实验研究数据不但数量有限，而且只是针对几种非常简单的结构形式。与此相比，数值方法则灵活的多。数值分析方法不受实验空间和测量手段等的限制，可以用于计算分析大型复杂的空间结构。基于多种数值理论的数值分析方法，已经越来越广泛的应用于薄膜结构褶皱的研究。

数值分析方法的发展

平面薄膜结构褶皱数值分析方法主要有两种 一种是基于薄膜理论采用不可压缩材料模型的数值分析。该方法包含基于Stein-Hedgepeth理论的迭代薄膜性能（IMP）方法、基于张力场理论的修正变形梯度法、修正弹性张量法、二变量参数（T-VP）法、修正本构矩阵法等，基于薄膜理论的褶皱数值分析方法假定薄膜没有弯曲刚度，不能够承受压缩应力，可以确定褶皱的走向和区域。这种分析方法出现较早，目前还被广泛运用在褶皱问题的研究之中。另一种方法是基于非线性薄壳模型的非线性屈曲分析方法。因为薄膜可以承受有限小的压缩应力，基于屈曲理论和薄壳单元来完成褶皱的数值分析。这一方法不仅能得到褶皱的分布屈曲和走向，而且能到的薄膜屈曲后的幅值、波长、褶皱数量等具体信息。后一种方法成为目前主要的分析方法。本文主要关心后一种分析方法，仅对后一种方法进行详述。

非线性屈曲分析方法

实际的薄膜结构可以承受有限的压缩应力，当压应力达到一定有限小的数值时，褶皱才会产生，与具有微小弯曲刚度的薄板类似。薄膜褶皱数值分析主要可以归结为静力问题的非线性有限元方程的求解问题，得到结构从稳定平衡到不稳定平衡的临界荷载和结构失稳后的屈曲形态，以及屈曲后褶皱变形与载荷之间的关系。

屈曲分析是一种用于确定结构的屈曲荷载（使结构开始变得不稳定时的临界荷载）和屈曲模态（结构屈曲响应的特征形态）的技术。

为了得到薄膜屈曲后的形态， 学者们由先前忽略薄膜的微小的抗弯刚度转而开始考虑薄膜所具有的微小的抗弯刚度在褶皱形成中的影响，采用非线性屈曲分析方法来研究褶皱问题，并使得该方法成为现在研究此种问题的主要方法。前期的学者主要是对薄板结构褶皱进行研究研究，随着薄膜结构的广泛应用，薄膜褶皱的研究也受到的人们的重视，并根据薄膜褶皱与薄板褶皱的相似性，把前人再薄板褶皱研究方面的成果逐渐应用到了薄膜褶皱的研究之中。薄板褶皱研究最早可以追溯到1929年Wagner所做的工作。

1929年Wagner 对一组金属薄片进行剪切试验，金属薄片在剪切作用下发生局部屈曲，褶皱沿对角线方向分布。Wagner 在试验分析的基础上提出了研究褶皱问题的张力场理论。尽管Wagner在进行褶皱分析时并没有考虑薄片微小的抗压缩能力，但是金属薄片可以看做是具有很小抗弯刚度的薄板，为此后的屈曲分析提供了实验依据。

1935年，wagner和ballerstedt 在褶皱屈曲方面进行了进一步的研究，假设临界压缩应力与屈曲点产生的压缩应力相等，试图采用屈曲分析的方法来分析褶皱问题。但是1952年Khun和Peterson 在这方面的实验和理论研究证明金属薄片中的压缩应力高于在屈曲时观察到的压缩应力的值，这与Wanger和Ballerstedt在1935年所采用的假设矛盾。

1985年croll对平面薄板褶皱进行了进一步的研究，提出褶皱波长与薄板弯曲刚度成正比的假设，但是他在分析褶皱是仍然是采用了忽略薄板抗压缩能力的张力场理论。

早期的部分学者，虽然注意到了薄板所具有的微小弯曲刚度，也对此进行了一定的研究，但是并没有将薄板的抗弯刚度延续到褶皱研究后期的理论分析中，在进行理论分析时仍选用了忽略薄板抗弯能力的张立场理论。

1993年Adams在对弹性环薄板的褶皱问题进行了研究，认为结构的褶皱问题其本质上就是结构稳定性问题。结构稳定性丧失，使得褶皱出现。基于此推断可以采用结构稳定性理论来预测临界荷载。但是这一研究需要涉及很多的数学知识和数学手段，因此滞后了屈曲分析方法的研究。

1970年以后，薄膜结构开始广泛出现，薄膜褶皱的研究也逐渐受到人们的关注。根据膜材与薄板的相似性，1986年以前薄膜褶皱的研究基本上均采用了的忽略薄膜抗弯刚度的张力场理论。随着研究的深入，人们越来越关心薄膜屈曲后，褶皱的一些具体参数，如幅值、波长等，所以从1986年开始，在薄膜褶皱问题的研究中，开始考虑薄膜抗弯刚度的影响。

1986年 Rimrott 和 Cvercko对两角固定自由悬挂的薄膜结构，在重力作用下产生的褶皱进行了实验和理论分析研究，考虑了薄膜抗弯刚度在褶皱中产生的影响。在对褶皱进行描述时，Rimrott 和 Cvercko根据产生的褶皱形状，采用余弦函数来描述褶皱，并认为褶皱幅值之间呈几何级数的关系。提出褶皱的压缩应力在褶皱线处为零，在每一条张拉带的中间部分达到最大，提出了临界压缩应力，认为临界压缩应力与材料特性有关。

Tension strips in hanging blanket

2002年 Wong 和Pellegrino []Y.W. Wong and S.Pellegrino Amplitude of wrinkles in thin membrane, pp. 257270 in New approaches to structural mechanics, shells and biological structures, 2002.对剪切位移荷载作用下的膜片进行了实验研究和理论分析。取中间的一个褶皱进行研究，褶皱与薄膜边界呈45°夹角。采用局部坐标系对褶皱进行描述，如图 所示 平行于褶皱的方向，垂直于褶皱的方向。

压应力垂直于褶皱的走向。根据Euler公式可以得到

薄膜褶皱基于屈曲理论的数值模拟

受薄板褶皱分析的影响，薄膜结构的数值模拟分析方法主要可以分为两种：一种是基于张力场理论，这是早期最主要的分析方法，目前仍然广泛应用。另一种是基于屈曲理论，这一理论在薄膜褶皱问题中的应用相对较晚。基于屈曲理论的分析方法，可以用于分析考虑抗弯刚度的薄膜结构褶皱问题，也可以用于忽略抗弯刚度仅考虑几何刚度的褶皱分析。由于这种分析方法能得到褶皱屈曲后的具体信息，所以逐渐成为研究褶皱问题中主要的分析方法。

Kármán 最先推导出了带有初始预应力的各向同性圆形薄板的控制方程。1924年Dean采用三角函数得到了平面内扭转作用下Kármán方程的近似解。到二十世纪八十年代，许多学者采用有限差分法的来求解Kármán方程。

1988年Suzuki等人采用Rayleigh Ritz 法对圆形膜片进行了分析研究，分为以下两种情况：首先对忽略抗弯刚度仅考虑几何刚度的膜片进行分析；然后对不施加预应力仅考虑其抗弯刚度的膜片进行了分析研究。并对这两种情况得到的结果进行了比较分析，但是他们主要是关注结构分岔屈曲后的屈曲模态。

1991年，Cheng Cheng C, Liu X. Buckling and post-buckling of annular plates in shearing, Part I: Buc put Mesh Appl Mech Eng 1991 采用改进的Von Kármán 原理，对平面内剪切荷载作用下的环形薄板弹性屈曲进行了分析。讨论了广义特征值线性化问题和在特征值附近叉屈曲问题的解是否存在。在参考文件Cheng C, Liu X. Buckling and post-buckling of annular plates in shearing, PartⅡ: put Mesh Appl Mech Eng 1991中对承受平面内剪切荷载的环形薄板施加微小扰动，采用Liapunov-Schmidt 方法进行分岔屈曲分析。并对屈曲后的特性进行了分析。1992年，Cheng 根据Reissner方程对大转动屈曲后的环形薄板的性状进行了分析。

自1995年开始，Miyamura 对张拉圆形薄膜平面内扭转问题进行了一系列的实验和理论研究，

2000年，Miyamura分别对各向同性材料（聚酯薄膜）的圆形薄膜结构和正交异性材料（PVC纺织涂层薄膜）的圆形薄膜结构进行了实验研究和数值分析。在该文献中采用完全lagrangian描述，考虑几何非线性忽略抗弯刚度的四节点薄膜单元进行数值分析。由于文献中，采用的是忽略抗弯刚度的薄膜单元进行分岔屈曲分析，理论上能得到无数条褶皱，采用有限元分析时，由于褶皱的数量与网格换分的细度有关，所以通过分岔屈曲分析仅会得到有限数量的褶皱。实验结果与数值分析结果进行了比较，Miyamura认为，以为褶皱数数量与网格划分细度有关，因此比较褶皱的数量是无意义的，两种分析方法得到的褶皱区域，主应力幅值以及主应力方向吻合较好。但是由于Miyamura在分析的过程中采用的是忽略薄膜抗弯刚度的膜单元，所以无法得到褶皱的具体信息。

2003年，X. Su, F等对张紧的正方形膜片进行了分析， 文献在U.L坐标下，采用非线性有限元模型的分叉屈曲理论对褶皱形成和发展过称进行研究。文献中采用张力场理论判断褶皱区域，然后采用薄壳单元得到了褶皱屈曲后的形状。

自2000年开始Wong 和Pellegrino薄膜分别进行实验和理论分析。文献在对薄膜结构进行数值分析时，采用分叉屈曲分析方法对整个褶皱的产生和形成进行了分析。Wong 和Pellegrino运用ABAQUS中的四节点四边形薄壳单元，对承受剪切位移荷载的四边形膜片和四个角点受张拉荷载的正方形膜片进行述职模拟。其分析过程为：首先对结构进行特征值屈曲计算，然后根据得到的自振特性施加初始缺陷，最后采用准静态分析方法得到褶皱屈曲后的具体信息，如：褶皱数量，波长，幅值等。文献中，对实验分析结果与数值计算结果的比较可以知道，褶皱位置，数量吻合较好，幅值吻合略差。Wong 和Pellegrino的工作不但证明里在薄膜褶皱问题中运用薄壳单元分岔屈曲理论是可取的，而且可以把褶皱问题作为准静态问题处理，从而避免了几何大变形问题中计算不收敛的问题。

目前，在薄膜褶皱问题研究上，常用的有限元软件有ABAQUS和ANSYS。这两种大型的有限元商用软件里面有两种单元可以用来研究薄膜褶皱问题，一种是忽略抗弯刚度，专门用以研究薄膜结构的膜单元，运用该单元形式进行数值计算时，仅能得到褶皱分布区域和走向；另一种是考率薄膜所具有的微小抗弯刚度时，可以选用的薄壳单元。运用该单元形式，不但能得到褶皱的分布区域和走向，还能得到褶皱的具体性态，如：幅值，波长等。

3.薄膜结构数值分析实例

张建在文献采用有限元软件ANSYS/LS_DYNA中的壳单元对气枕式充气薄膜结构褶皱进行了分析。文献中，采用虚功率原理建立有限元方程，运用准静态方法对平面内剪切荷载作用下的四方形膜片和角部受拉的正方形膜片分别进行了数值模拟。