略谈学生对分数理解存在的问题及解决策略

涉及分数内容的学习一直是学生学习的难点，也是教师教学的一大困惑。当单独进行分数概念的学习时，学生总觉得非常简单易学，而一旦进入分数乘除法的学习后，老师们会突然发现，各种各样的问题如雨后春笋一样陆续暴露出来了。虽然我们在课堂上想方设法让学生厘清分数的概念，但效果总不尽如人意。最近，笔者有意识地关注了这个问题，通过观察、分析、实践，形成了自己的一些认识，并提出一些改进策略。

一、缘起：从一道高频出错题想起

在五年级教学完“分数的意义”后，学生做“每份是总数的几分之几”这类题时，正确率较高；在学习分数与除法的关系时，学生做“每份是多少米”这样的题目，正确率也很高。但当这两个问题合二为一时，如在练习中经常会碰到这类题目：一根绳子长3米，把它平均分成5段，每段是全长的（ ），每段长（ ），学生错误相当多。下面这题是六年级上学期开学时做的课堂练习，全班48个学生，有17个做错，主要错误如下：

其中有一个学生为五年级下学期数学免考生，教师问他：“平均分成7段，每段长是米，你当时是怎么想的？”“把10米长的绳子平均分成7段， 求每段长应该是7÷10；不对，是10÷7，噢，不对，不对，应该是7÷10。”这个学生经过“深思熟虑”之后，仍认为应该是米。看来，错误在学生头脑中真是根深蒂固。为什么学生在建立分数概念时会产生错误呢？如何使学生更好地理解分数的两种意义？

二、剖析：学生出错原因与教师教学存在的问题

分析学生出错的原因，从学生、教师角度考虑，笔者认为主要有以下几点：

原因之一是由于这类题目中的两个问题非常相似（特别是所求数量没带单位时），许多学生区分不了这个问题是求部分与整体的关系，还是求具体的数量。当然其中反映出来的是学生对分数的两种意义的理解不够透彻，正是认识上的这种不足，才造成学生混淆分数作为一个数量和作为一种关系的根源所在。因此，分数兼具数的性质和比的性质是学生学习的一个难点，错误多与学生对分数意义的理解不透彻有关。

原因之二是学生存在思维定势。在低年级求每份数时，总数总是大于份数，并且能被份数整除。到了五、六年级，在求具体数量且结果不能用整数表示时，学生思维还停留在原来的水平上，一旦碰到份数比总数大，或结果不能用整数表示时，学生解题就无从下手，只能凭感觉行事了。

原因之三是由于教师在教学“分数的意义”时，不能很好地把握分数意义的教学要点，往往就课而论，以解决本课时的知识目标为重点，忽视了知识结构的整体性。随着知识难度的增加，知识结构的逐渐整合，原本隐藏的问题逐渐显现出来。

三、追溯：教材编排反思

对于分数意义，人教版教材分两个阶段：第一阶段是三年级上册，主要借助具体的实物和直观图形，把一个物体或一个图形平均分成若干份，用分数来表示其中的一份或几份。第二阶段是五年级下册，把多个物体或多个图形看做一个整体，概括出单位“1”及分数的意义，再接着学习分数与除法的关系、初步学习怎样求“一个数是另一个数的几分之几”的问题，此时涉及分数的两种含义：（1）表示一种关系；（2）表示具体的数量。从教材的编排中，可以看出有诸多不利于学生区分分数两种身份的因素。

1.分数两种意义在教材中的轻重失衡

在第一学段，教材所有内容都是理解分数表示部分和整体的关系，容易使学生根深蒂固地建立起“分数就是部分和整体的一种关系”的思维模式。第二学段虽有1课时来理解分数表示具体的数量，但相对于已建立起强大的“部分和整体的一种关系”来说力量显得过于单薄，在脑海中不能留下明显痕迹。

2.定义分数意义的角度较为单一

分数既然有两种含义，在定义分数的意义时理应都有所涉及，而人教版教材在分数的意义一节中对分数的概念表述为：一个物体或一些物体等都可以看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。可以看出教材对于分数这一概念的解释角度比较单一。

3.不能利用整数中已学知识进行正迁移

教材在编排分数与除法、一个数是另一个数的几分之几时，特意绕开整数除法中相对应的知识，而用分数表示一种关系去解释，既使学生对用分数求具体数量难以接受，无法理解；又使得整数除法与分数中求具体数量的知识相隔裂，使学生的知识不能发生正迁移。

在对学生和自身进行剖析，对教材进行反思后，我们可以改进教学，从而使学生少出差错。

四、策略：教材把握与教学改进

策略一：有效利用迁移，简化分数的两种认识

在初步接触分数之前，学生已有了在整数范围内求每份数、份数、倍数的基础，分数的意义其实与倍数、每份数的求法相关联。所以在教学分数意义时，应突出分数是对整数的一次扩充，应让学生看到分数与整数的相同之处，充分利用知识的正迁移，对学生原有的知识进行扩充，完善其知识体系：当我们设定了一个标准后，另一个量与“标准”比较后，结果是整数就是我们以前学的知识，表示几倍；当与设定的标准比较的结果不足1时，就是现在要学的知识，我们用分数来表示；而当这个标准是自然数1时，分数跟整数一样，表示具体的数。把总数平均分成若干份，求每份数的时候，与整数中每份数的求法一样，只不过因为现在的得数不能整除而用分数表示而已。假如我们能充分利用整数知识的正迁移来指导分数意义的教学，学生头脑中的分数就不再显得那么特别，学生对分数的建构就不会另起炉灶了，因为分数跟学生早已熟知的整数一样，没有什么特别。

策略二： 调整教学内容，整合分数的两种意义

在人教版教材中，分数是以份数定义。其实分数应是两个自然数相除（除数不为0）的商，即商定义。所谓份数定义，只是初步认识时的过渡说法。至于比定义，则是商定义的引申。分数的本质在于“能够表示不能整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小”。这就是说，a能整除b（a、b都是自然数，a≠0）时，其商是整数；不能整除时，其商就是新的数，我们称它为分数。

既然分数的定义只有商定义一个，那么我们可以在学生学习 “分数与除法的关系”后，再来学习、总结分数的意义，把分数的两种意义进行整合，明确把分数定义为两个自然数相除的商。如在学习“分数与除法的关系”后，教师就可以整合分数两种意义：把单位“1”平均分成n份，表示这样的m份，相当于求m是n的几倍，但由于现在得数小于1，所以结果我们不用“几倍”而用“几分之几”来表示；这样，把分数两种意义整合为一个后，大大降低了分数意义的难度，减少了出错的机会。

策略三：调节教学轻重，平衡分数两种认识

我们从教材编排中不难看出，更多安排的是求部分与整体的一种关系，所以在教学过程中，我们应调节教学轻重，在教学中适当增加分数表示具体数量的比重，使学生对分数两种意义的理解在认识上有所平衡。如我们在教学“分数的意义”时，可以从最基本的测量与分物入手，让学生在刚认识分数的意义时，就留下深刻印象：分数可以表示具体的数量。

测量：用1分米长的绳子去测量单人课桌的长

（1）学生测量后反馈：5分米多一点

（2）多一点是几分米呢？（引导学生把1分米平均分成10份再测量，学生发现是分米）

（3）说说分米的意思。

也可在课堂上进行分物：把3个饼平均分给4个同学，每人分到多少个？

在本单元的教学中，教师能有意识地在课堂上调节教学轻重，适度增加分数可以表示具体的数量的讲解，学生在认识上也会产生一定的重视，而不会忽略某一种。

策略四：拓展题目类型，强化分数两种意义

除了上面几点，我们还可以在课堂练习或课后练习中下工夫。一是在学习分数与除法的关系后，专门设计一节练习课；二是平时每天课后，教师改变题目的情景，让学生适当做几题，如：

1.把12个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每人有（ ） 个月饼。

2.A.把8个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每份有 （ ）个月饼。

B.把3个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每份有（ ）个月饼。

C.把3个月饼平均分给4个人，3份是这些月饼的（ ）。

3.（1）一根2米长的绳子，剪去它的，还剩下它的（ ）；剪去米，这根绳子还剩下（ ）。

（2）1块烧饼的与3块烧饼的（ ）相等。1千克的，与3千克的（ ）是一样重的。

通过这样分数两种含义的对比练习课，就可以使学生更好分辨此类问题，学生在检测中便不会出错了。