解不等式典型错例剖析
时间：2022-09-20 10:58:44
解不等式是不等式一章中的重要内容,也是解决其它问题的重要工具。解不等式的依据是不等式的性质和函数的有关性质，关键在于“等价转化”、“化繁为简”。但在初学时，由于对性质认识不足、理解不深，往往犯下一些错误，今举几例，仅供借鉴。
一、 随意去分母导致错误
例1 解不等式
x2x-4>
16x-4+3
错解：不等式两边同乘以（x-4），得
x2>16+3（x-4），
即x2-3x-4>0解得x4
剖析：由于（x-4）的符号不确定，去掉分母(x-4)后不等式的方向无法确定，故解法有误。
正解：移项，通分得
x2-16-3（x-4）x-4>0，即
（x+1）（x-4）x-4>0，
即x+1>0且x≠4，故原不等式的解集为
{x|x>-1且x≠4}。
解分式型的不等式时，若分母的符号不确定时，不能轻易去分母，
通常用通分的方法解决。
二、 忽略分母不为0导致错误
例2 解不等式
x2-3x-42x2-5x+2≤0
错解：原式可化为：
（x+1）（x-4）（x-2）（2x-1）≤0
等价于（x+1）（x-4）（x-2）（2x-1）≤0
解得-1≤x≤12或2≤x≤4
剖析：分式不等式等价转化时，没有考虑到分母不能为0，故解法有误。
正解：原式可化为：
（x-1）（x-4）（x-2）（2x-1）≤0
等价于
（x+1）（x-4）（x-2）（2x-1）≤0
（x-2）（2x-1）≠0
解得-1≤x
则原不等式的解集为
x-1≤x
解分式不等式需要转化成因式相乘形式时，要把转化后的形式与分式的分母取交集。
三、 忽视函数的定义域而导致错误
特别是在解分式不等式、对数不等式、根式不等式时，应优先考虑其定义域，否则很容易出错。
例3 解关于x的不等式loga（x2+2x-8）-loga2
错解：原式可化为loga（x2+2x-8）
底数02（x-3）
解得x2
剖析：错误的原因是没有考虑到对数的真数大于0的限制。
正解：由对数的真数大于零和单调性可知
原不等式等价于
x2+2x-8>0
x-3>0
x2+2x-8>2（x-3）
，
解得x3，则原不等式的解集为x|x3
四、 忽视不等式两边的条件直接平方而导致错误
例4 解不等式
x+3>2x
错解：原不等式两边平方得
x+3≥0
x+3
解得-3≤x1
剖析：不等式两边平方,必须保证两边的值非负,本题解法忽视了2x
正解：法1：分2x≥0和2x
原不等式等价于
2x≥0
x+3≥0
x+3
或
2x
x+3≥0
解得0≤x
故原不等式的解集为{x|-3≤x
法2：设t=x+3 （t≥0）
则原不等式可化为2t2-t-6
解得-
32
t≥0 0≤t
即0≤x+3
{x|-3≤x
解绝对值不等式或根式型不等式时,若不等号两边式子的正负不定,不能直接平方,而应采取分段讨论的方法或换元法。
五、 忽视不等号含“=”而丢根导致错误
例5 解不等式
x（x+2）（x+1）（1-x）2（2-x）3≤0
错解： （1-x）2≥0
原不等式等价于x（x+2）（x+1）（x-2）≥0
解得x≤-2或-1≤x≤0或x≥2
剖析：本题忽略了（1-x）2=0即x=1时也符合题意，丢了一个根。
正解：原不等式等价于x（x+2）（x+1）（x-2）≥0或x=1
解得x≤-2或-1≤x≤0或x≥2或x=1
故原不等式的解集为{x|x≤-2或-1≤x≤0或x≥2或x=1}
高次不等式在化简时往往把偶次式直接去掉，如果原不等式内含“=”号，偶次根恰恰是不等式的解，很容易丢根，故在去偶次式时要看原不等式是否含“=”，若不含“=”则直接去，若含“=”则不要漏掉这些根。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
