高等代数中典型证明题的一题多解问题

【摘 要】 高等代数课程中，“一题多解”的题目是非常多的。“一题多解”问题不仅能拓展学生的思维空间，还能有效提升学习数学的兴趣。本文以高等代数中行列式和矩阵这两部分内容中的典型证明问题为例，来探讨一下高等代数中的“一题多解”问题。

【关键词】 高等代数 行列式 矩阵 一题多解

1 行列式的证明

行列式的证明方法很多，从中选出最简单，最适宜的解决办法，很容易就能证得。下面这道例题，我们可以用五种方法解题，着重讲一下矩阵与行列式的关系用于解决行列式的证明问题。

例：证明=

分析1：由行列式的特点可以看出，只要把行列式第一行展开即可。

分析2：若将第i行乘以加到第1行，即可将第1行的前n个元素变为0，再按第一行展开即得要证结论。

分析3：用数学归纳法证明。

分析4：因为行列式的前n列中每列只有两个元素不为0，所以也可将行列式按某一列展开来证。

分析5：这个行列式的特点是去掉它的第1行和第列后，剩下的元素构成一个n阶单位矩阵，它的构造当然最简单，这点启发我们利用分块矩阵来求证。下面我们写一下第五种分析方法的证明

证法5：令，=，表示n阶单位矩阵。则原行列式为，因为

两边取行列式，得

这道题前四种方法都是无可置疑的。第五种方法另辟途径，颇具新意。它利用分块矩阵，利用了单位矩阵的运算性质及矩阵乘积与行列式之间的关系，虽然不易想到，但一旦掌握便很容易得到结果。

2 矩阵的证明

矩阵这部分内容知识点多，解题方法也多。我们仅通过一道例题探讨矩阵可逆的证法。

例：设A，B为n阶矩阵。证明：若可逆，则也可逆，其中I为单位矩阵。

分析1：要证可逆，只要证存在一个n阶矩阵Q，使。今已知可逆，所以存在C，使 由此即可找到Q。

证法1：因可逆，故存在n阶矩阵C使得

。

于是利用这个结果就可证明是可逆的，它的逆矩阵就是：

只要在展开式中将代替和就行了。

分析2：由可逆，要证也可逆，只要能证明就行了。这只要作出适当的矩阵，对它们施行适当的初等变换，然后取行列式即可。

证法2：作矩阵

因为

所以

两边取行列式，得。因此，若可逆，

则，从而，也可逆。

分析3：用反证法。若不可逆，则以为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解。可推出以为系数矩阵的齐次线性方程组也有非零解。得出也不可逆的矛盾。

证法3：若可逆，假设不可逆，则=0

以为系数矩阵作齐次线性方程组⑴

则方程组⑴有非零解。 易知，

于是

可见，方程组有非零解。 从而=0，

这与可逆相矛盾。所以可逆。

分析4：要证可逆，即证，这只要证明1不是的特征根。

证法4：因可逆，故，可见1不是的特征根。另一方面，因为有相同的非零特征根。因此，1也不是的特征根。即从而可逆。

这道题我们用4种证法证明矩阵可逆。证法1是根据矩阵可逆的定义来证的。其余三种证法都是根据矩阵可逆的充要条件，从不同的途径证明的。

参考文献：

[1]魏献祝.《高等代数一题多解二百例》.福建人民出版社，1982.

[2]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》.华中理工大学出版社，2000.

[3]李忠傧.《高等代数百题多解法》.广西教育出版社，1989.

[4]北大数学系.《高等代数》.高等教育出版社，1988.