新课标下的一类中考数学探究题

培养学生的探究能力是新课程标准中积极倡导的一项重要内容。在此背景下，各地的中考试卷中出现了许多新颖的几何探究题。笔者通过几例，对其中的一类略作说明。

一、相同思路证明同一结论

例1（2007年天津）如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。

（1）求证：AE・AB=AF・AC；

（2）如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AE・AB=AF・AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。

分析（1）通过证明ADE≌ABD以及ADF≌ACD两次相似得到结论；对于直线与相交或相离，可利用同（1）的方法进行证明。

证明（1）如图1，连接DE

AD是圆O的直径∠AED=90°

又BC切圆O于点D

ADBC，∠ADB=90°

在RtAED和RtADB中，∠EAD=∠DAB

RtAED≌RtADB

同理连接DF，可证RtAFD≌RtADC，AF・AC=AD2

AE・AB=AF・AC

（2）AE・AB=AF・AC仍然成立

如图2，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D′

则∠AD'B=90°

AD是圆O的直径

∠AED=90°

又D'AB=∠EAD

RtAD'B≌RtAED

同理AF・AC=AD'・AD

AE・AB=AF・AC

同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图3时，AE・AB=AF・AC仍然成立

例2（2007年北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

分析 （1）由定义易写出许多这样的特殊四边形；（2）易得∠BOD（或∠COE）与∠A相等，猜想四边形DBCE是等对边四边形。可通过在OE上截取或分别作BE、CD边垂线，也可以C为顶点作一个角等于∠DBC进行证明；（3）方法同（2）。

解（1）平行四边形。

（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证明如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。

BDC≌CFB

BD=CF，∠BDC=∠CFB

∠ADC=∠CFE

∠ADC=∠DCB+∠EBC+

∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE

∠ADC=∠FEC

∠FEC=∠CFE

CF=CE

BD=CE

四边形DBCE是等边四边形

特别地，当AB=AC时，BD=CE仍成立。

二、相同思路求线段长

例3 （2006年山东淄博）半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P。已知BC∶CA=4∶3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O

（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（2）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长。

分析（1）由已知条件，易求出AC、BC的长，利用面积公式或三角形相似可求出CD的长。即求出了CP的长，所以求CQ的长时可利用PCQ≌ACB进行。（2）由（1）可知CQ= PC，在（2）中仍然成立。这样可过点B作PC垂线，利用相似或三角函数先求出PC长。（3）欲求CQ最大值，此时PC要最大。故当PC过圆心O时，CQ取到最大值。

解（1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D。

AB为O的直径，

∠ACB=90°。

AB=5，AC∶CA=4∶3，

BC=4，AC=3。

又AC・BC=AB・CD

在RtACB和RtPCQ中，

∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，

RtACB≌RtPCQ

（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC，于点E（如图）。

P是弧AB的中点，

∠PCB=45°，

又∠CPB=∠CAB

故PC最大时，CQ取到最大值。

三、相同思路证明并求解

例4（2007年江苏盐城）操作：如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

探究一如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二如图3，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE∶EC=1∶2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB。若AB=5，CF=1，求DF的长度。

分析由对称可知，只需在直线PQ上，在点O的两边截取相等的两部分即可。在探究一、探究二的活动中，分别延长AE和CF，利用全等可得AB=AF+CF，利用相似可求DF的长。

解（1）画图略

（2）结论：AB=AF+CF

证明分别延长AE、DF交于点M。

E为BC中点BE=CE

AB∥CD∠BAE=∠M

又∠AEB=∠MECABE≌MCE

AB=MC

又∠BAE=∠EAF∠M=∠EAF

MF=AF

又MC=MF+CF

AB=AF+CF

（3）分别延长DE、CF交于点G。

AB∥CF

∠B=∠C，

∠BAE=∠G

ABE∽GCE

AB=5 GC=10

FC=1GF=9

AB∥CF ∠BAE=∠G

又∠BAE=∠EDF

∠G=∠EDF

GF=DFDF=9

综上所述，这类几何探究题的解题思路往往是相同的，结论也往往是不变或相近的。只要仔细探究，一定会找到解决的途径。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”