“函数方程思想”教学设计案例及点评

摘要：本文针对学生函数方程学习方面基础薄弱的现状，以易错题为切入点，进行函数与方程思想的专题点评，并对教学过程进行反思。

关键词：函数与方程思想；教学设计；点评；反思

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）18-049-2

【课题与学情分析】

1.课题情况

“函数与方程思想”是中学数学的核心思想，通过建立函数关系，运用函数图象、性质分析、转化，从而解决相关问题。从近年江苏省高考来看，涉及到函数、方程思想考查的有8―10题，其他省份的高考也类似情况。

巧的是，周末高三年级学生做了一张“南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试”的综合试卷，批阅后得出11，13，14，19等题错的比较多，发现大多数是与函数方程有关问题，遂产生利用几道题作为第二轮“函数与方程思想”专题复习的想法。

2.学生情况

学生是三星级学校的层次较好的理科班，经过第一轮复习，基础知识掌握得较好，该班学生的思维较活跃。学生通过初中和高一、高二的学习，已训练了一次（组）、二次方程，储备了不少具体的初等函数（一次、二次、指数、对数等），理解了函数概念、函数的单调性、奇偶性、对称性等性质；对于函数方程思想，教师在教学中也有一些渗透，但仍显生疏，运用“函数方程思想”解决问题的意识不强，需要一个专题训练。

【教学方法】

以问题驱动，追问式与探究式相结合。

【课堂教学摘录】

师：本周末，我们做了“南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试”的一张综合试卷，批阅后得出11，13，14，19等题错的比较多，发现都是与函数方程有关问题，为解决这一问题，本节课我们就“函数与方程思想”进行专题复习。

课堂反馈：

对于11题。

师：形式am-1am+1给我们什么信息？

生1：利用等比性质：a2m=2am，am=2，am=0（舍去），

师：你能给一个充分的理由吗？

这个问题，逼学生思考，启发学生联想等差数列求和的倒序相加法，得出：a2m-1・…・a2・a1=128，两式相乘：得2m―1组（a2m）2m-1=27・27，得m=4.

小结：方程思想。本题通过再列一个方程，构成方程组，获得成功。这是利用方程思想解题。

问：在数列中，这样的情形少吗？试例举几个？

生2：已知Sn，求an，再列出Sn-1，两式相减；

生3：已知Sn与an的一个关系，求an或Sn的问题.

教师给予肯定，后投影。

（简要思路：构造第二个方程，两式相减解决）

（简要思路：构造第二个方程，两式相除解决）

变式3已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}部分项组成的数列：ak1，ak2，…akn恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=13，求kn.

……

【案例点评】 彰显注重思维训练的有效课堂

高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。该老师的课堂通过利用试卷中问题资源，进行变式、整合，引导学生观察、分析，不断追问，鼓励构造、创新，既教归纳也教演绎，彰显了注重思维训练的特征。

1.注重思维训练需要精彩的问题设计――合理整合资源（利用试卷、适度变式）

周老师的设计可谓独辟蹊径，他抓住近日考试中出现的几道难题入手，从解答涉及的方程和函数思想引入，使得学习本课题的必要性更显突出。一位哲人说过：错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。要构成一堂专题复习课，还需要适当补充几道变式题作为对知识、方法查漏补缺的巩固练习，这很有必要，说明周老师确是一位利用资源的高手。可能有人说，现在不缺学习资源，因市场上复习材料琳琅满目，但关键在于是否适合所在班级的学生，毕竟“适合才是最好的”。从学生的错误入手，从错误中提取问题资源，作一些必要的整合，则更贴近学生实际，更易被学生所接受，所谓“共振效应”。

周老师对试卷的3道题解答后，各配有两组变式题，11题后的设计的一组变式题1、2，是在构造第二个方程，对方程组赋予

一个运算（加、减、乘、除等）予以解决，变式3是对同一个akn既是等比数列中的第n项，又是等差数列中kn项，列出一个方程，求出kn，对方程思想体现得淋漓尽致，帮助学生克服难点。13、14题后的一组变式题，都是在构造函数，有的是利用函数的性质解答，有的是利用图象解答。虽然每组变式题处理方法类似，但各有侧重，侧重点非常清晰。通过问题的适度变式、对比，让学生巩固练习，这种多题一解的强化，有利于学生对构造方程和函数这一难点内容的理解，有益于提升课堂教学的实效。

2.注重思维训练需要合理的课堂操作――多次追问，追求“简化”

现在有不少高一学生为应试而机械操练、多模仿，主动性不强，从周老师的课堂反馈：学生的学习不在模仿，而是在理解，在创造。

周老师上课的特点是，对学生解答的过程进行有意识的个别提问、追问，不仅是简单的是、否，而是探究为什么？通过不断追问某一个学生，刨根问底。如周老师对学生1连续多次追问：从“形式am-1am+1给我们什么信息？”“从T2m-1=128，可以得到什么？”旨在从条件中获取宝贵的解题信息；“你能给一个充分的理由吗？”是逼学生思考，启发学生联想等差数列求和的倒序相加法；小结后又问：在数列中，这样的情形少吗？试例举几个？通过不断追问，看似对当事者，其实全班都在思考。用一题通一片，有助于数学理解、把握问题的本质，便于学生迁移、运用，提升学生分析解决问题的能力，培养学生思维的深刻性。

3.注重思维训练需要有效的课堂操作――归纳发现和演绎证明的统一

探索、发现结论，往往需要先尝试、特殊化、猜想，归纳法就是从特殊到一般的推理过程，它是各种创造性思维的基础要素；而演绎法是一般到特殊的推理，对归纳发现的结论的真伪还需要演绎证明。由于初中课标和教材降低因式分解等代数运算的要求，加之高一因课程紧，代数证明接触少，因此代数证明成了学生的软肋，但它是培养理性思维的基础，也是高考的热点。由此，数学课堂是既要教猜想，也要教证明，都要重视，但不排除某一课堂有所侧重。这方面在周老师的课堂中体现得比较充分。如：周老师在学生猜想T7=27后问“你能给一个充分的理由吗？”寻求演绎证明。在解决14题中出现一个复杂式子后，问学生“怎么求？”“如何求导？”寻找解决的路线图；“能否保证t>0呢？需要挖掘条件。”由此，可以看出周老师教的学生，平常已经习惯于遇问题先猜想，并具备猜想能力，而对于结论得真伪，又习惯于演绎证明，利用已学的数学工具，真是训练有素。

4.注重思维训练需有高超的课堂掌控力以及个人魅力

从课堂反馈，周老师驾驭课堂的能力很高，他在用自己的实际行动诠释新课改中“教师主导、学生主体”的教育理念。整堂课教师只进行必要的提示、追问和引导，主要的知识与方法都是学生得出的，教师恰当的引导，使得整堂课朝着正确的方向“前进”，促进了学生有效的学习，值得我们学习。