平面向量基本定理的应用

平面向量基本定理告诉我们两个事实：一是任何一个向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的和，二是任何两个不共线向量的线性关系都可以用一个向量来表示?郾 因此，若λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则必有λ1=μ1且λ2=μ2，这为待定系数法解题提供了理论依据?郾 由此，我们可以把平面上的直线型问题表示成某些向量的线性组合，这样，几何问题就可以转化成向量问题，再利用向量的混合运算，使问题得以解决?郾 本文拟例说明平面向量基本定理的应用，旨在帮助同学们熟悉题型特征，掌握解题方法?郾

一、用于表示向量

例1 已知a=3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用a，b表示向量c?郾

解析 设c=xa+yb，则有7e1-4e2=x（3e1-2e2）+y（-2e1+e2）=（3x-2y）e1+（-2x+y）e2， 3x-2y=7，-2x+y=-4?郾 解得x=1，y=-2?郾 故c=a-2b?郾

例2 如图1，在ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，线段BN与CM交于点E?郾 设■=a，■=b，试用a，b表示■?郾

解析 M、E、C三点共线，且■=3■?郾

设■=t■，则有

■=t■+（1-t）■=t■+■（1-t）■?郾

设■=s■，又■=4■，

■=s■+（1-s）■=s■+■（1-s）■，则有

t■+■（1-t）■=s■+■（1-s）■.

又 ■与■不共线， t=■（1-s），■（1-t）=s?郾 解得t=■，s=■?郾

故■=■a+■b?郾

点评 对同一向量，得到两种不同形式的表达式，然后利用平面向量的基本定理，结合待定系数法求解，这种方法在解决向量问题时经常用到，同学们要理解并能熟练掌握?郾

二、用于证明向量共线

例3 设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a+b与c共线，b+c与a共线，试问b与a+c是否共线，并证明你的结论?郾

解析 a+b与c共线， 存在唯一实数λ，使得a+b=λc?郾 又 b+c与a共线， 存在唯一实数μ，使得b+c=μa?郾 以上两式相减，得a-c=λc-μa，即（1+μ）a+（-1-λ）c=0?郾 a与c不共线， 由平面向量基本定理知1+μ=0，-1-λ=0，即μ=λ=-1， a+b=-c，也就是a+c=-b?郾 故b与a+c共线?郾

点评 解共线条件下的向量问题的方法是：根据共线的条件，通过设系数建立方程，再利用平面向量的基本定理，比较系数，得到新的方程组，从而使问题得到解决?郾

三、用于证明与向量相关的等式

例4 向量■与■不共线，P为直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，且■=x■+ y■（x，y∈R），求证：x+y=1?郾

解析 P1、P2、P三点共线， 存在实数λ，使■=λ■，即■-■=λ（■-■）， ■=■■+■■?郾 根据基本定理中实数对的唯一性，知x=■，y=■?郾 故x+y=1?郾

例5 在ABO中，P是AB边上的一点（P不与A、B重合）?郾 若■=a，■=b，■=ma+nb（mn≠0），求证：m+n=1，且■=■■?郾

证明 点P在AB上，即■与■共线，由此设■=λ■， ■=■+■=■+λ■=■+λ（■-■）=（1-λ）a+λb?郾 又■=ma+nb，由平面向量基本定理，得m=1-λ，n=λ， m+n=1?郾 又 ■=■-■=ma+nb-a=（m-1）a+nb=n（b-a）?郾 同理可得■=m（b-a）?郾 故■=■■?郾

点评 利用已知的向量表示另一向量的过程，本质上是进行向量的加法运算――平行四边形法则（或三角形法则）?郾 进行加法运算时要注意“首尾相接”，进行减法运算时要注意是“终-起”?郾

四、用于求值

例6 i，j是两个不共线的向量，已知■=3i+2j，■=i+λj，■=-2i+j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值?郾

解析 ■=■-■=（-2i+j）-（i+λj）=-3i+（1-λ）j，又A、B、D三点共线， ■与■共线，因此存在实数μ，使得■=μ■，即3i+2j=μ［-3i+（1-λ）j］=-3μi+μ（1-λ）j?郾 i与j是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得-3μ=3，μ（1-λ）=2?郾 解得μ=-1，λ=3?郾 故当A、B、D三点共线时，λ=3?郾

五、用于解、证平面几何问题

例7 试用向量法证明三角形的三条中线共点?郾

解析 如图2，设D、E、F是ABC的三边BC、AC、AB的中点，AD与BE交于点G，■=a，■=b，则■=■+■=a+b?郾

在ACF中，■=a，■=■■=■b，

■=a+■b.①

在ACG中，■=■+■=a+■■，又在ABD中，■=■+■=b-■（a+b）=■（b-a），

■=a+■・■（b-a）=■（a+■b）.②

由①②得■=■■， 故C、G、F共线，即AD、BE、CF交于一点G?郾

例8 如图3，在ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值?郾

解析 设■=e1，■=e2，则■=■+■=-3e2-e1，■=■+■=2e1+e2?郾 A、P、M和B、P、N分别共线， 存在实数λ、μ，使■=λ■=-λe1-3λe2，■=μ■=2μe1+μe2， ■=■-■=（λ+2μ）e1+（3λ+μ）e2，而■=■+■=2e1+3e2?郾 e1与e2不共线， λ+2μ=2，3λ+μ=3?郾 解得λ=■，μ=■?郾

故■=■■，即AP∶PM=4∶1?郾

例9 已知ABC的面积为14cm2，D、E分别为边AB、BC上的点，P为AE与CD的交点，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，求APC的面积?郾

解析 如图4所示，设■=a，■=b为一组基底，则■=a+■b，■=■a+b?郾 A、P、E和D、P、C分别共线， 存在λ和μ，使得■=λ■=λa+■λb，■=μ■=■μa+μb?郾 又■=■+■=（■+■μ）a+μb， 由平面向量的基本定理，得λ=■+■μ，■λ=μ?郾 解得λ=■， μ=■?郾 于是，SPAB=14×■=8（cm2），而 SPBC=14×（1-■）=2（cm2），故SAPC=14-8-2=4（cm2）?郾

点评 利用平面向量的基本定理求证平面几何问题的关键是选取适当的基底，而选择基向量应遵循以下的原则：①尽量选择两个已知的向量；②尽量选择能将已知量、已知空间位置关系及所求量、所证的位置关系集中的两个向量；③尽量选择共点或具有垂直关系的两个向量?郾

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