圆锥曲线切线方程的五种求法

切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：

一、向量法

在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。

例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的圆的切线l的方程.

解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）

由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），

值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.

三、判别式法

也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.

例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.

将它代入方程x2-2y2=2中整理得：

（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，

由已知得：=[-4k（2k-1）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，

解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），

即：x-y-1=0.

四、导数法

新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：

例4.此处仍以上面的例3为例.

解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，

得：2x-4yy′=0，

过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.

五、几何法

通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：

例5.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8，8）的切线l的方程.

解：由抛物线C的方程可得其焦点F为（2，0），准线方程为：x=-2，

过点M（8，8）作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标是（-2，8），

又设FN的中点为P，则P的坐标为（0，4），

（作者单位 山东省滕州市第一中学）