常见圆锥曲线系方程及其应用

【前言】常见圆锥曲线系方程及其应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。证明一方面，设椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）的离心率分别为e和e′，则e=，e′==，所以e=e′.故椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）有相同的离心率（显然椭圆C：+=1（λ>0）是焦点在x轴上、中心为原点的椭圆）. 另一方面，设椭圆C：+=1（a1>b1>0）与椭圆+=1离心率相同，则=，可推...

江苏泰州中学附属初中 225300

摘要：本文研究和探讨了共离心率的椭圆系方程和共渐近线的双曲线系方程的两个重要性质在解题中的应用.

关键词：共离心率；共渐近线；椭圆系方程；双曲线系方程

[⇩]共离心率的椭圆系方程

性质1椭圆C是和椭圆+=1（a>b>0）有相同的离心率、焦点也在x轴上、中心也为原点的椭圆⇔椭圆C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.

证明一方面，设椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）的离心率分别为e和e′，则e=，e′==，所以e=e′.故椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）有相同的离心率（显然椭圆C：+=1（λ>0）是焦点在x轴上、中心为原点的椭圆）.

另一方面，设椭圆C：+=1（a1>b1>0）与椭圆+=1离心率相同，则=，可推出=，则∃λ>0，使a1=a，b1=b.

例1求和椭圆+y2=1有相同的离心率，且与直线3x+2y－16=0相切、焦点在x轴上、中心为原点的椭圆方程.

解法1设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0），因为它和直线3x+2y－16=0相切，故可由方程组

x2+4y2=4λ，

3x+2y－16=0

消去x，整理得

16y2－16y+64－9λ=0，

其根的判别式Δ=（-16）2－4×16×（64－9λ）=0，解得λ=4.

故所求椭圆的方程为+y2=4，即+=1.

解法2设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0）.

设它和直线3x+2y－16=0相切的切点为（x1，y1），则切线方程也为+y1y=λ，所以==，所以x1=λ，y1=λ，代人所求椭圆的方程中，化简得4λ=λ2，又因为λ>0，所以λ=4.

所以所求椭圆的方程为+=1.

解法3设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0），即

2+

2=1，

故可设切点坐标为（2cosφ，sinφ），

所以切线方程为+sinφ・y=λ，

即cosφ・x+2sinφ・y=2.

因为它和直线3x+2y－16=0重合，

所以==，

所以==，

所以=，所以λ=4.

所以所求椭圆的方程为+=1.

点评我们知道，对于中心为原点的圆x2+y2=r2，过其上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2. 实际上，对于中心为原点的椭圆+=1（a>0，b>0）亦有类似的结论.

推论1椭圆C是和椭圆+=1（a>0，b>0）有相同的离心率、焦点在y轴上、中心也为原点的椭圆⇔椭圆C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.

[⇩]共渐近线的双曲线系方程

性质2双曲线C是和双曲线-=1（a，b>0）有共同渐近线的标准（中心为原点，焦点在x轴或y轴上）双曲线⇔双曲线C的方程具有-=λ（a，b>0，λ≠0）的形式.

证明（1）必要性. 因为双曲线-=1的渐近线为-=0，即bx±ay=0，而双曲线C：-=1（λ≠0）的渐近线为-=0（λ≠0），即bx±ay=0，故双曲线-=1与双曲线-=λ（λ≠0）有共同的渐近线（显然双曲线C：-=λ（λ≠0）是标准双曲线）.

（2）充分性. 设双曲线C：-=1与双曲线-=1有共同的渐近线，得直线bx±ay=0和b1x±a1y=0分别重合，于是存在λ>0，使b1=b，a1=a.

设双曲线C：-=1与双曲线-=1有共同的渐近线，同理，存在λ

例2求与双曲线－=1有共同的渐近线，且与直线5x－6y－8=0相切的标准双曲线的方程.

解法一设所求双曲线的方程为－=λ（λ≠0），因为其和直线5x－6y－8=0相切，且显然其渐近线都不平行于直线5x－6y－8=0，

故可由方程组x2－4y2=16λ，

5x－6y－8=0

消去x，得4y2－6y+25λ－4=0，其根的判别式Δ=（－6）2－4×4×（25λ－4）=0，

解得λ=.

故所求双曲线的方程为－=，即－y2=1.

解法二设所求双曲线的方程为－=λ（λ≠0），

即x2－4y2=16λ（λ≠0），设其和直线5x－6y－8=0相切的切点为（x0，y0），其切线方程也为x0x－4y0y－16λ=0，

所以==，所以x0=10λ，y0=3λ，代入所求双曲线的方程中，化简得4λ2=λ，又因为（λ≠0），所以λ=.

所以所求的双曲线方程为－y2=1.

解法三设所求双曲线的方程为－=1，因已知切线的斜率为，故应用斜率为m的双曲线－=1的切线方程y=mx±得切线方程为y=x±=x±.

故与已知直线方程为y=x－相比较，得=，所以λ=.

故所求双曲线的方程为－y2=1.

综上所述可见：注意对圆锥曲线系方程的研究，对于巩固所学内容、理解课本知识，提高学习水平、启迪思维均颇有益处. 这样的专题研究既有利于学生系统地掌握学过的知识，又有利于提高综合运用知识的能力，对于培养学生的探索精神和创新意识将会起到积极的作用. 故笔者认为：这类专题研究，符合新课程理念的研究，值得重视.

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