解决圆锥曲线问题的利器函数与方程

【前言】解决圆锥曲线问题的利器函数与方程由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。由点在双曲线上得:9x02-3y02=1 ① 再由PA与PF垂直知: kPA•kPF=-1，=1 即:•=-1② 由①②得:x0=，y0=± SAPF =•= 【点评】几个未知数(字母)，列几个方程，在利用“垂直”这一关系时，除了利用斜率这积等于-1，还可以利用向量:PA•PF=0;勾股定理:P...

圆锥曲线是高中数学的重要章节， 以前几乎每年的高考大题都有圆锥曲问题，并且这类问题在整个试卷中也占有相当大的比重，虽然2008年以来的考试大纲对这一章的要求有所降低，但是它仍是我们学习时的一个难点，我想其一是因为这类问题的计算量有时相对较大，其二有时涉及到的变量多(两个或更多)。对学生的计算能力与思维能力都提出了较高的要求。因此我们只有积极的面对，从中发现解决这类问题的一些常用方法。只有这样，我们在这处理这类问题时才能居高临下，整体把握，从而解决这类问题。这里，笔者从这几年的教学实践中发现，函数与方程的思想是解决圆锥曲线问题的有力工具。这类问题的核心是“设”与“列”的问题。更关键的是第二步:列关于变量的等量关系。下面就在圆锥曲线中常出现的一些问题为例加以说明。

一、求点的坐标

例1.设点A.F分别是双曲线9x2-3y2=1的左项点和右焦点，点P是其右支上的一点，若∠APF是直角,求APF的面积。

分析:只要设出点P 的坐标，列出关于坐标的方程即可。

解:设p（x0,y0）

由点在双曲线上得:9x02-3y02=1 ①

再由PA与PF垂直知:

kPA•kPF=-1，=1

即:•=-1②

由①②得:x0=，y0=±

SAPF =•=

【点评】几个未知数(字母)，列几个方程，在利用“垂直”这一关系时，除了利用斜率这积等于-1，还可以利用向量:PA•PF=0;勾股定理:PA2+PF2=AF2;p点在以AF为直径的圆上等建立关于x0；y0的方程。

二、求圆锥曲线的方程

例2. (选修1-1第51页,21题)

若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B 两点，M 为A，B的中点，直线OM（O为原点)的斜率为,又OAOB，求此椭圆的方程。

分析:对于求标准方程问题，一般是先定位后定量，即先设出其标准方程，再用待定系数法求，其中的关键就是如何得到关于其中字母(变量)的等量关系。这个题目中已知方程的类型，故只要得到关于a，b的两上方程即可。而题目中有两个等量关系可用:一是直线OM（O为原点)的斜率为，二是OAOB

设直线与椭圆的交点为A（x1，x2），B（x1，x2）则（x1，x1），（x2，x2），为方程组 x+y=1ax2+by2=1的解。

消去y得（a+b)x2-2bx+b-1=0由此可求得弦AB的中点 M的坐标（，），

从而有kOM==①

又由OAOB，•=-1则x1x2+y1y2=0，而y1=1-x1，y2=1-x2，由此可得a+b=2 ②

【点评】这个题目中设及到两个字母，是直线与圆锥曲线这类题型，解题过程就是建立关于字母a，b的方程的过程。圆锥曲线中，学生较难掌握的一般是设及2个或3个字母的有关问题，有些学生连题目都看不透，我想学生如果用方程的思想来审视题目，找出题目的有关等量关系，就能抓住题目的精髓，找出这两个等量关系，快速列出有关字母的方程，从而解决问题。

三、探索性问题

例3.(选修1-1第51页,19题)

已知双曲线x2-=1 过点P（1，1）能否作一条直线 与双曲线交于A，B两点，使P为线段AB的中点。

分析:假设存在这样的直线，设y-1=k（x-1） 利用AB 的中点为P（1，1） 建立关于k的一个方程。

解:设A（x1，y1），B（x2，y2），则可令l方程为y=kx-k+1代入双曲线方程，则有（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2=1（*） 。若上述方程有两个实根，设为x1，x2 则有x1+x2==2，y1+y2=k（x1+x2）+2-2k=2，解得k=2那么方程 化为2x2-4x+3=0而此方程无实数根，所以，满足条件的直线l不存在。

例4.一椭圆方程为+=1，在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0） （其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点坐标，若不存在，请给予证明。

解析：设存在P（x，y）满足题设条件，AP=（x-a）2+y2

y2=4（1-）AP2=（x-a）2+a（1-）=（x-a）2+4-a2，Qx≤3，≤3

即0≤a≤ 时，AP2 的最小值为4-a2，依题意知4-a2 ＝1， a＝±∈（0，）a＞3即0≤a≤，此时x=3，AP取最小值（3-a)2 ，此时P点坐标为（3，0），故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为（3，0）。

【点评】：在解析几何中，求参数的取值范围问题，往往要建立目标函数，利用函数的定义域、值域最值、单调性等知识解决。

四、焦点三角形

例5.双曲线-=1上有一点P 有一点P ，F1，F2 是双曲线的焦点，且∠F1PF2=3π求F1PF2 的面积。

分析:焦点三角形是常考的一种题，这一类问题常用圆锥曲线的第一定义与第二定义(或是圆锥曲线的共同性质)来解题。

解:设PF1=m， PF2=n

由双曲线的定义知:m-n=8 ①

在VF1PF2 中，由余弦定理知:

F1F2 2=m2+n2-2mncos600 ②

由①②知m2-2mn+n2=64m2+n2-mn=80mn=16

SVF1PF2=mnsin600=×16×=4

【点评】对于焦点三角形问题，大部分学生都会用圆锥曲线的定义来解题。这是因为学生知道这是个；圆锥曲线问题，可很多学生没有在意这是个三角形问题，所以这类问题，我们以前学过的解三角常用的工具：勾股定理，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式(s=ah，s=ab，sinC=bc，sinA=acsinb） 。中位线定理（这时用到隐含条件O是边F1F2 的中点）等都要注意应用。

五、求字母的范围

例5: (选修1-1第50页,15题)

若抛物线x2=2y的顶点是在抛物线上距离点A（0，a） 最近的点,求a的取值范围。

分析:先建立距离关于a的函数，然后根据它在(0，0)处取得最小值。从而求出a的取值范围。

解:设P（x0，） 抛物线上任一点,则

PA==

设x02 =t则t≥0

d=

对称轴为t=2（a-1）开口向上，因为在t=0时取得最小值。所以，对称轴t=2（a-1）≤0 ,得a≤1。

【点评】先建立d关于x0的函数，从而转化为有关的函数值问题。从而求出字母a的范围。

总之，函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考经久不衰的热点和重点。函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

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