云南省高三第一次统测导数大题是错题吗

1 问题再现

2011年云南省高三第一次统一检测结束后,很多老师和学生认为数学第20题的第二问：证明|f(x)|>g(x)+12是错误的,并给出了如下“证明”.这道题真的错了吗？我们先来看一些老师给出的证明．

原题：已知e是自然对数的底数,-e

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)证明：|f(x)| > g(x)+12．

解 (Ⅰ)略

(Ⅱ)证明(错证) 要证|f(x)|>g(x)+12在-e

即证f(x)>g(x)+12在-e

由题知:f′(x)=-1-1x,g′(x)=ln(-x)-1x2

1)设F(x)=f(x)-g(x)-12,则F′(x)=-x2-x-ln(-x)+1x2.下面证明F(x)>0成立．

设G(x)=-x2-x-ln(-x)+1,则G′(x)=-2x2-x-1x=-2(x+14)2-78x>0．

所以G(x)在-e

又因为G(-e)=-e2+e

所以存在x0∈(-e,-1),使得G(x0)=0．

所以当x∈(-e,x0)时,F′(x)

当x∈(x0,0)时,F′(x)>0,F(x)是增函数．

所以F(x)>F(x0),但因为x0无法求出,故无法求出F(x)的最小值,因此无法说明F(x)>0成立．

2)设h(x)=f(x)+g(x)+12,则h′(x)=-x2-x+ln(-x)-1x2.下面证明h(x)

设P(x)=-x2-x+ln(-x)-1,则P′(x)=(-2x+1)(x+1)x．

所以当x∈(-e,-1)时,P′(x)>0,即P(x)是增函数；

当x∈(-1,0)时,P′(x)

所以P(x)≤P(-1)=-1,即h′(x)

所以h(x)在-e

因为h(-1)=32>0,

所以h(x)

综上1)、2）题目是错题!

咋一看,上述证明似乎思路清楚,叙述也无懈可击.真的是这样吗？

2 一波未平一波又起

我们再来看一个简单的问题：已知不等式|2x-a|>x-2对x∈［0,2］恒成立,求实数a的取值范围．

解法一(错解)：因为|2x-a|>x-2成立,所以2x-ax-2成立．

即3xa-2对x∈［0,2］恒成立,所以6a-2,即a4．

解法二(正解)：当x∈［0,2)时,不等式右边x-2

当x=2时,不等式右边x-2=0,此时只需2x-a≠0即可,也即4-a≠0．

综上,知a的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞)．

同一个问题却有两个不同的答案,问题究竟出在哪里？

3 反例帮助理解

设f(x)=x,g(x)=-1,显然|f(x)|>g(x)对x∈R恒成立．

但是f(x)g(x)对x∈R恒成立却都是错误的．

由此我们发现：A或B恒成立并不等价于A恒成立或B恒成立．

事实上|f(x)|>g(x)在［a,b］上恒成立f>g或fg或fg在［a,b］上恒成立或f

这正是上述两个问题中错解的原因.这里需要强调的是,很多人混淆了解不等式与证明不等式在某个区间上恒成立的不同,这是两类不同性质的问题．

4 云南省20题的正确解法

由第一问,可以很容易求得f(x)的最小值是1．

所以要证|f(x)|>g(x)+12,只需要证明f(x)>g(x)+12．

设h(x)=g(x)+12,运用导数作为工具,可以很容易证明h(x)

5 典型题再练

已知函数f(x)=ln(3x+2)-32x2.若对任意x∈16,13,不等式|a-ln x|+ln［f′(x)+3x］>0成立,求实数a的取值范围.

这是一道流传甚广的试题,然而其所提供的标准答案却是错的,包括2011年金太阳模拟试卷4也是如此.错误缘由正如上分析,这里不再赘述.正解如下：

问题等价于|a-ln x|+ln33x+2>0对任意x∈16,13恒成立．

因为当x∈16,13时,ln33x+2∈0,ln65.当且仅当x=13时ln33x+2=0．

可知当a=ln13时,|a-ln x|+ln33x+2=0,其他情况下|a-ln x|+ln33x+2>0都成立．所以a的取值范围是(-∞,ln13)∪(ln13,+∞)．