从HPM视角对“情感、态度、价值观”目标达成的探索研究

1 《普通高中数学课程标准》对“情感、态度、价值观”目标的要求

《标准》将数学课程目标分为了三个层次,其中第三个层次就是情感、态度、价值观,一种对于人的全面和谐发展和社会发展的更高层次的要求.促进学生全面和谐发展是课程改革的核心理念,也是素质教育的目的.因此,《标准》中还明确提出了其具体要求：1.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心；2.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；3.开阔数学视野,认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,体会数学的美学意义；4.形成批判性的思维习惯、崇尚科学的理性精神,树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观．

对于“情感、态度、价值观”目标的达成,仁者见仁,智者见智,方法手段不拘一格.其中章建跃博士在南师大附中开讲座时,就“教学目标的达成”这一话题讲过这样一句话：“我们应该以知识为载体,在教授技能与方法的过程中,不断渗透情感、态度、价值观.”值得一提的是,有一种方法与章博士的主张不谋而合,而且对于达成这一目标有着十分显著的效果,那就是将数学史融入数学教学中,也就是HPM理论.那么,什么是HPM呢？

2 对HPM的简介

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的缩写,它源于1972年在英国艾克赛特举行的第二届国际数学教育大会(ICME-2)上的一个工作组,是一个专门研究数学史与数学教育之间关系的组织.随着HPM研究的发展,其研究范围日益广泛,它关注的内容主要包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、数学史与发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文献在教学中的应用等等.其研究的主要方向用一句话简述之就是：数学史与数学教育之间的关系. HPM这个话题近年成为教育研究的一个热点,对这方面的理论研究成果可谓是硕果累累.但目前对于数学史在数学教学中的教育价值出现了一种“高评价,低应用”的现象,思辨性探讨居多,实践的深度和广度还不够.下面笔者首先对HPM理论有利于“情感、态度、价值观”目标达成作简要的可行性分析,然后提供几个基于HPM理论的简要案例设计．

3 从HPM视角对“情感、态度、价值观”目标达成的可行性分析

美国数学家和数学史家M•克莱因十分强调数学史对数学教育的重要作用,他坚信,历史上数学家曾经遇到的困难,课堂上,学生同样会遇到,因而历史对数学具有重要的借鉴作用.他指出：“数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释.换言之,它并不仅仅是从显明叙述的公理推理出毋庸置疑的结论来.”

李文林研究员说：“数学史本身有三个目的：一个是搞清历史本来面貌,我们叫作为历史而历史；还有一种是为了数学研究,本身它需要用到数学历史的启发,这叫作为数学而历史,但是我想我们更多的是要为教好数学来讲数学史,所以我把它叫作为教育而历史.”

数学史不仅可以展现数学发展的总体过程,而且又可以介绍各学科、各专题的具体发展演变过程,开阔学生视野,理解数学的本质,形成正确的数学观念,同时体会数学创造过程中的斗争、曲折以及数学家所经历的艰苦漫长的探索道路.而这些都是有利于“情感、态度、价值观”目标的达成的．

而且,数学是一种文化.数学家丁石孙教授指出：“我们长期以来不仅没有认识到数学的文化教育,甚至不了解数学是一种文化……这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教学.”因此,充分体现数学的文化价值是符合“情感、态度、价值观”这一目标的,也是符合高中数学课程基本理念第八条的.数学史则恰好可以充当好这样一个角色,它能使学生了解数学的思想方法、数学的理性精神,欣赏数学的美学价值,体会数学家的创新精神,以及数学文明的深刻内涵．

4 从HPM视角出发设计的若干简要教学案例

4.1 重现知识发生、发展过程,让学生了解知识的来龙去脉,提高学习兴趣,认识数学的科学价值、应用价值和文化价值

案例1 进入高中要学习的第一章就是《集合》,虽然大部分学生在高中阶段对于集合的学习并不感觉吃力,但是对于它的重要性,又有多少学生知道呢？为什么学习《集合》？为什么要将《集合》作为整个高中第一章？许多学生恐怕高中毕业了都不知道.在学习《集合》这一章之前,老师不妨先给学生简要地介绍一下数学史上的第二次危机,也就是康托尔创立集合论的历史背景．

公元17世纪,牛顿和莱布尼兹创立了微积分,微积分能提示和解释许多自然现象,它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视.然而,因为微积分才刚刚建立起来,这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在漏洞,还不能自圆其说. 哲学家贝克莱很快发现了其中的问题,他一针见血地指出：先用Δx为除数除以Δy,说明Δx不等于零,而后又扔掉含有Δx的项,则又说明Δx等于零,这岂不是自相矛盾吗？这就是著名的“贝克莱悖论”. 贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础,引起了数学界长达两个多世纪的论战,从而形成了数学发展史中的第二次危机．

为了解决这一危机,无数人投入大量的劳动,先后建立了极限理论、实数理论和集合论三大理论,微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了.而实数理论是极限理论的基础,集合论又是实数理论的基础.因此可以说,集合论是整个现代数学大厦的基础．

通过对知识的发生发展过程简单的重现,学生对于学习集合的必要性就有了一定的认识,也能认识到他们即将学习的内容是我们整个高中数学的基础.而且集合论的曲折创立过程也能引起学生的数学兴趣,为第一章的学习营造了良好的氛围．

4.2 插入史实性知识,拓宽学生的数学视野,并加深对所学知识的重新认识与深刻理解

案例2 很多学生都不明白,为什么初中学习了函数的定义,到了高中,却要重新定义函数,在学习了函数的概念及其表示之后,可以给学生介绍数学史上一个著名的函数实例,即德国著名数学家狄利克雷给出的狄利克雷函数：

D(x)=1(x是有理数)

0(x是无理数)．

显然,这个并非学生刚刚所学的三种常见表示方法,而是用的描述法.这个历史案例可以告诉学生,并非所有的函数都有解析式.因此用初中所学的传统的函数定义──“变量说”是无法解释的.这能使学生明白为什么高中我们还要学习函数,而且要用新的方式来定义.因为严谨的集合和对应语言能更适应现代数学．

4.3 将前人遇到的问题摆到学生面前,让学生追寻前人的足迹,感受问题解决的过程,激发学生的求知欲望

案例3 在学习《用二分法求方程的近似解》这一课题时,可以先设置如下问题作为引入：

问题1：求下列方程的根．

(1)2x+1=0；(2)x2+2x-3=0；

问题2：方程ln x+2x-6=0在区间(2,3)内是否有根？

问题3：如何求方程ln x+2x-6=0的根？

对于问题1,学生可以用求根公式很快求出答案,对于问题2,学生可以用前一节所学的零点存在定理进行判断；到了问题3时,教师可以先作短暂停顿,然后给学生讲方程求解的历史：

9世纪时,阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法；1514年,意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法；1545年意大利数学家卡尔达偌的名著《大术》一书中,把塔尔塔利亚的解法加以发展,并记载了费拉里的四次方程的一般解法.1778年,法国数学大师拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想,1828年,法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程,其中包括指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程,是不能用代数方法求解的．

在讲完这段方程求解的历史之后,学生自然很有兴趣知道既然代数方法不能求解,用什么样的方法可以求问题3中的方程的根呢？这样一来,自然就激发了学生的求知欲望,有利于下面对二分法的探究．

4.4 引入数学名题,领悟古人解决问题时所采用的数学思想,形成崇尚科学的理性精神,培养科学的人文精神

案例4 从古到今积累了各种类型的数学问题,它们内容精彩有趣,构思巧妙,深刻反应了某种数学思想和数学方法,引导和促进了数学的发展,有流传和鉴赏的价值,更有数学教育的价值,合理地利用历史上的数学名题,做到古为今用,能激起学生的学习兴趣,培养科学的人文精神.例如在学完算法的三种结构之后,我们可以给学生出这样一道富有文化气息的问题：

美索不达米亚人长于计算,它们创造了优良的计数系统,在发展程序化算法方面表现尤为突出,它们创造了许多成熟的算法,求正数平方根近似的算法是最具代表性的,它们设计的算法是这样的：

1.确定平方根的首次近似值a1{a可任取一个正数}；

2.由代数式b1=aa1算出b1；

3.取两者的算术平均数a2=a1+b12为第二次近似值；

4.由代数式b2=aa2求出b2；

5.取算术平均数a3=a2+b22作为第三次近似值；

……

反复进行上述步骤,直到获得满足精确度的近似值为止.请同学们画出这个算法对应的流程图．

通过这个问题,学生不仅能够巩固所学的知识,进行灵活的运用,而且能够从中体会古人开方运算的思想,感慨古人智慧之伟大,有利于培养崇尚科学的理性精神和人文精神．

4.5 讲述数学家的生平事迹,传播数学家锲而不舍的钻研精神和科学态度,以此感染学生

案例5 在集合的学习结束之后,马上就要迎来学生们都认为很难的函数章节的学习,为了让学生们做好充分的思想准备,同时也为那些认为自己数学基础不好而感到自卑的学生加油,我们可以给学生讲讲华罗庚自学成才的故事：

华罗庚是国际著名的数学家,小时候因为家境贫困,交不起学费而辍学,到父亲的小杂货铺里做学徒,可他并未放弃学习,利用空余时间刻苦自学数学.在他19岁时写的论文《苏家驹之代数五次方程式解法不能成立的理由》一文受到清华大学数学系主任熊庆来先生的赞赏,邀请他到清华大学边工作边进修.到了清华大学后,他更加勤奋地学习数学,并自学了英文、法文和德文.后来聘为西南联合大学教授,当时生活条件极为艰苦,白天教学,晚上在柴油灯下从事研究工作.著名的《堆垒素数论》就是在这样的条件下写出来的.他在晚年已有极高的声望和地位,但仍手不释卷,顽强地读和写,给人类留下了近300篇学术论文和10多种科普读物,连他逝世的那一刻,都站在学术报告的讲台上.回顾他的一生,只有一张初中文凭,却蜚声中外.“发白才知智叟呆,埋头苦干向未来.勤能补拙是良训,一分辛苦一分才.”这就是他留给我们的宝贵的精神财富．

学生听完华罗庚自学成才的故事之后,无形之中就会受到他那种刻苦钻研精神的感染,对自己以后在数学学习中建立起自信心有一定的帮助．

5 利用HPM理论时需要注意的几个问题

从上述的几个方面不难看出,利用HPM理论将数学史融入数学课堂确实有利于“情感、态度、价值观”目标的达成,但是在融入的过程中,我们需要注意以下几个问题：

(1)由于课堂时间的限制,所选择的数学史材料不要系统,不求全面,力求精简,能够反映主要的观点或者体现主要的数学思想和数学方法就可以．

(2)选材要能贴近中学教材中所体现的主要数学思想、数学概念和数学理论,能够突出思想方法．

(3)要注意时机和方式,不能作为单纯的讲故事.应在适当的时候,融入到数学课堂中,引领或者贯穿或者穿插于整节课中．

(4)教师自身一定要提高数学史方面的素养,积累一定的素材,否则巧妇难为无米之炊．