基于一阶倒立摆系统的机器人建模仿真分析

摘 要：该文简化了机器人数学建模，采用一阶倒立摆数学模型来近似替代原模型，用来研究机器人控制器。控制器设计使用的是NI的控制器设计软件。使用Simulation对第四章设计的控制算法进行仿真分析，采用的被控对象为一阶倒立摆非线性模型。

关键词：一阶模型 机器人 仿真

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）07（c）-0068-01

系统仿真是根据被研究的真实系统的数学模型研究系统性能的一门学科，现在尤指利用计算机去研究数学模型行为的方法。计算机仿真的基本内容包括系统、模型、算法、计算机程序设计与仿真结果显示、分析与验证等环节。本文选用NI提供的NI Simulation Module软件模块构建机器人实时系统仿真，实时对数据进行采集，使得不需要编写任何程序直接把控制模型的输出信号引出作用在真实系统。

1 近似模型―倒立摆系统

倒立摆系统的控制问题一直是自动控制理论研究中的一个典型问题。控制的目标是通过给机器人底座施加一个力u（控制量），使机器人停留在预定的位置，并使竖起的支杆不倒下，即不超过一个预定好的垂直偏离角范围。该次设计使用的倒立摆硬件是固高公司生产的GIP-100-L一阶倒立摆系统。

其中，计算机与运动控制卡的部分采用了NI的PXI控制器及其运动控制卡系统，即固高上层运动控制部分被替换为NI的运动控制产品，下层系统不变。整个系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将机器人的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘2反馈回运动控制卡。

在该文中，将应用牛顿一欧拉法对倒立摆进行数学建模。得到一阶倒立摆动力学非线性方程组后，在=0附近对以上方程组进行线性化处理，其中，可以得到式（1）：

2 倒立摆非线性系统数学模型建立

非线性是指不具有线性叠加的性质，在现实系统中，大多数系统都是非线性的，NI的Simulation Module工具套件除了本身提供的非线性工具（比如过冲、摩擦、死区、量化、延迟、变化率限制等非线性模型）之外，还可以通过NI的公式节点来编辑非线性数学模型，得到系统的非线性微分方程表示，比如三角函数、指数函数、幂函数等等。

根据NI建议的，本次设计倒立摆的线性模型采用Simulation 自带的自控理论函数仿真，采用公式节点辅助Simulation Module提供的标准积分器来实现。根据公式（1）的倒立摆非线性系统模型，采用公式节点辅助标准积分器实现。

其中M表示机器人质量，m表示倒立摆摆杆质量，g表示重力加速度，L表示摆杆杆长，u表示控制力大小，b表示滑动摩擦系数，f表示转动摩擦系数，J表示摆杆转动惯量。dda表示角度相对于时间的二阶导数，da是角度的一阶导数，a表示角度，ddx表示位移相对于时间的二阶导数（即加速度），dx表示位移相对于时间的一阶倒数（即速度），x表示机器人的位移。其中a、da、x、dx为非线性系统类似于自控理论中状态空间表示的状态变量，u表示系统输入，并且对于上述的四个状态，系统的初始值可以设定。

以上就是直接采用倒立摆非线性微分方程所建立数学模型的仿真，通过仿真发现，采用非线性模型对系统仿真更接近于系统的真实特性，如果采用线性模型（即对倒立摆模型线性化后所使用的状态空间表示方程），系统将完全看不出在平衡位置震荡的曲线。

3 机器人建模仿真

目前大部分仿真系统内只提供线性控制器，所得到的分析曲线也是在倒立摆为线性的情况下的结果，所以并不能比较真实全面地表现该控制器对真实系统（非线性系统）作用时倒立摆真正的表现，使用了NI Simulation Module就可以把所设计的线性控制器直接对非线性被控对象进行仿真，用于观测结果。

对于机器人伺服系统控制器为五个输入，一个输出，五个输入分别表示倒立摆对象的四个状态（即角度、角速度、位移、速度）和位移参考输入，输出为控制器对倒立摆机器人所施加的力，把此控制器用于系统仿真，必先得到该控制器的离散LTI模型。

上式就是控制器状态空间LTI模型，该模型的输出显示在程序框图左侧中间的部分，在左侧底部，该控制器模型被保存为文件，用于在本章仿真中直接从文件中调出，仿真使用。从该模型中明确看出，v（k）表示积分状态，x（k）为被控对象输入的四个状态和委员参考输入，y为控制器的输出，其中被设计的参数、分别显示在输出方程中。

w仿真结果的两个控制开关分别表示了所用的控制器类型以及被控对象倒立摆线性、非线性模型。其中右边曲线表示在t=0时参考输入为-1.4，在t=3时参考输入为0.0052时的响应曲线，其中红色曲线表示倒立摆摆杆角度，蓝色曲线表示机器人位置，可见对于本文所设计控制器应用于非线性被控对象还是完全可以达到预期目地的。但是，由于所设计的控制器是在被控对象为线性近似的情况下完成的，当参考输入的变化量突然变大时，系统将发生不稳定。由此可见，现代控制理论的设计思想用于实际情况还是具有一定得局限性的。从仿真结果来看，大约参考输入突然变化2以上时，系统将发生崩溃。

4 结语

本次设计的主要任务即是控制系统设计，对系统进行数学建模，通过真实信号的激励、响应，对模型进行修正。之后选择控制器结构并获取相应的参数，并对控制系的性能进行分析。本文完成了大部分的控制系统开发工作，但是仍有部分工作还在研究阶段，该文只是整个开发过程中一个阶段性总结，以希望科研继往开来。

参考文献

[1] 孙灵芳，孔辉，刘长国，等.倒立摆系统及研究现状[J].机床与液压，2012（7）.

[2] 杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究[J].控制工程，2012（S1）.

[3] 阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].电子元器件应用，2012（1）.