几何法 第3期

【摘要】从小偷被发现到被捕获，所用的时间为 t1=tBD+t停留+tBC=■+1s+■ =■+1s+■=10s， 根据勾股定理，AC间的距离为 AC=■ =■=50m， 由于小明所用的时间等于小偷所用的时间，所以t1=t2=...

在初中物理的学习过程中，常常遇到一些几何方面的知识点，比如勾股定理、平行线之间角的关系、三角形的内角和为180°、相似三角形等知识.借助几何知识来解决物理问题的方法，称之为几何法.

几何法的特点是简洁有效、直接了当，在处理某些问题时，常常起到别的方法不可替代的作用.几何法常见于运动学、光学与杠杆等这些能够和几何有学科交叉的题目中.

一、运动学类

例1 某地区道路如图1所示，歹徒在A处作案后沿AB以5m／s的速度逃跑，到达B时暂留1s.接着沿BC以6m／s的速度逃跑，在歹徒经过AB中点时，被见义勇为的小明同学发现并立即从A点出发，沿AC拦截歹徒，结果警方和他恰好在C处将歹徒抓获，歹徒从被发现到在C处被捕获共历时 s；小明追捕歹徒的速度为 m／s.

解析 本题中的行走路线正好是直角三角形，歹徒所走的是两条直角边，小明所走的是斜边，且小明追的时间等于小偷从AB中点到C点共用的时间，小明所走的距离等于直角边AC的长度.故本题可结合勾股定理求解.同时本题还有一个隐含条件“小明所用的时间等于小偷被发现后逃跑所用的时间”.

从小偷被发现到被捕获，所用的时间为

t1=tBD+t停留+tBC=■+1s+■

=■+1s+■=10s，

根据勾股定理，AC间的距离为

AC=■

=■=50m，

由于小明所用的时间等于小偷所用的时间，所以t1=t2=10s；且小明所走的距离为s2=AC=50m，所以小明的速度为

v2=■=■=5m／s.

例2 一位电脑动画爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏，如图2所示，在一个边长为a的大立方体木箱的一个顶角G上，老鼠从猫的爪间逃出，沿着木箱的棱边奔向洞口，洞口在木箱的另一顶角A处.若老鼠奔跑中保持速度大小v不变，并不重复跑过任何一条棱边及不再回到G点，聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口（设猫和老鼠同时从G点出发），则猫奔跑的速度为多大时，猫恰好在洞口再次捉到老鼠？

解析 仔细阅读题干可发现，老鼠只可能先后沿此立方体的三条棱边逃跑而到达A处（如沿棱GC、CD、DA逃跑），则老鼠逃跑通过的路为3a.而猫选择的是由G至A的最短路程，这一最短路程则不是沿立方体的棱奔跑，而是在立方体的表面上奔跑.比如猫可先在平面BCGF上追，然后在平面ABCD上追逐而到达A.由以上思路，确定出猫所行驶的最短路程，它所用的时间与老鼠相同，这样便可求出猫的奔跑速度.解答本题的关键是能够将几何的知识转变成初中物理的运动学问题，能够熟练的将立方体展开，从而确定出猫的行动路线.

为能够计算出猫运动的最短路程，可以将立方体的外表面展开，使平面ABCD和平面BCGF两者位于同一平面内，如图3所示，显然，猫通过的最短路程是线段GA.

这一路程的长度是GA=■

=■a.

这一段距离是猫先后通过平面BCGF和平面ABCD由G至A的最短路程.可以看到，猫还可以选择沿别的平面由G到达A，但不管怎么样，对比后仍可得到其最短路程长度还是■a.

设猫的奔跑速度大小为v′，则猫由G点沿最短路程跑至A点所用的时间为

t′=■，

而老鼠由G至A所用的时间为t=■，

显然，若t′=t，则猫刚好在洞口A再次抓到老鼠，即

■=■，

因此，所求猫的速度大小是v′=■v.

答：猫跑的速度大小为■v时，猫恰好在洞口再次捉到老鼠.

二、光学类

例3 一个很大的球，它的直径比一般人的身高还要大，如何利用三角板、刻度尺、一个小球、一根较长的直木棒测量大球的直径？

解析 本题用刻度尺直接测量是不可能的.因为题干中的很大的球这四个字就意味着不能直接用刻度尺来测，要动脑筋想一些特殊方法来间接测量.间接测量对于那些不能用工具直接测量的物理量是一种非常有效的方法，而且这些方法没有固定的模式，具有一定的灵活性.能够用几何方法求解.

因为大球的直径很大，用刻度尺和三角板无法测量，只能利用几何学的相似形知识，对应边成比例来计算大球的直径.

将大球和小球一起放在水平地面上，记下与地面的切点A、B，然后把直木棒斜放在大球和小球上并让它们相切，木棒的端点与地面相交于C点，如图4所示，用刻度尺测出BC、AC的距离，再用三角板和刻度尺测出小球半径r，由图可知BCO′∽ACO，可得

■=■，由此可得大球的直径为R

=■・r.

例4 如图5所示，一束光线从距地面为3m的天花板上的A点竖直向下照射到水平放置的平面镜上，将平面镜绕入射点O旋转15°，反射光线照到天花板上的光斑B距光源A有多远？

解析 分析本题中入射光线AO、反射光线OB与光源、光斑的距离AB三条光线共同组成了直角三角形AOB.可利用直角三角形的相关定理求解.本题中考查了勾股定理，还考查了直角三角形的另一个重要性质“直角三角形中，30°的角所对直角边的长度等于斜边的一半”，熟练运用这些知识，就可以将本题顺利解答出来.

平面镜旋转15°，法线也随之旋转15°，此时入射角为15°，

所以∠AOB就等于两倍的入射角，即∠AOB=30°，

在直角三角形AOB中，因为∠AOB=30°，

所以OB=2AB，

由勾股定理可得OB2=AB2+AO2.即（2AB）2=32+AB2，

解之得AB=■m.

例5 请观察自行车尾灯，你会发现有一种自行车尾灯设计得很巧妙，当后面汽车的灯光以任意方向射向尾灯时，它都能把光线“反向射回”，请解释其原理.

解析 自行车尾灯两个反射面互成90°放置，其实就是我们所熟悉的角反射器，根据反射定律，射来的光线两次反射后会平行射出.

这种自行车尾灯是由互成直角的一些小平面镜组成.按照光的反射定律，将光路图画好，然后可利用光路图来分析，如图6所示.

因为∠1=∠2（反射定律），

∠4=∠5（反射定律），

且∠2+∠6=90°，∠3+∠6=90°，

所以∠3=∠2=∠1（等量代换）.

因为∠3+∠4=90，

所以∠2+∠1+∠4+∠5=180°，

则AO∥BC.

因此，光线会反向原路射回.

例6 用一个直径为10cm的凸透镜正对着阳光方向，在透镜的另一侧7.5cm处有一个垂直于主光轴的光屏.此光屏上呈现一个直径为5cm的光斑，则该透镜的焦距是多少？

解析 如果在光屏上得到一个亮点，则亮点是凸透镜的焦点.而现在是在光屏上呈现一个直径为5cm的光班，因此有两种可能性应当考虑，如图7所示.

设透镜直径为D，光斑直径为d，透镜距光屏为L，则D=10cm，d=5cm，L=7.5cm.

在甲图中，透镜中心O到焦点F的距离（焦距）为f1，

由相似三角形知■=■，

解得f1=■=■cm=15cm.

在乙图中，透镜中心O到焦点F的距离（焦距）为f2，

由相似三角形知识可知■=■，

解得f2=■=■cm=5cm.

即该透镜的焦距为15cm或5cm.

例7 让太阳光沿主光轴射到凸透镜上.在透镜后面的光屏上看到一个光线较弱的圆形暗环，而环中间较亮.已知暗环的内、外半径分别为R1、R2，光屏与透镜的距离为d，则该凸透镜的焦距为多大？

解析 如果光屏到凸透镜的距离与透镜的焦距相等，则在光屏上将出现一个亮点.可问题是现在光屏上出现圆形暗环，而环中间较亮，这说明光屏与透镜间距离不等于焦距，画图分析就会发现有大于焦距和小于焦距两种情况，从而进行讨论.事实上，暗环中间亮区是太阳光照射到透镜上被透镜折射到光屏上形成的，而暗环外的亮区是太阳光直接射到光屏上形成的.有点像影子的形成原理.解本题的关键是画出正确的光路图.

（1）当光屏与透镜间的距离d大于透镜的焦距f时，光路图如图8所示.

其中F为焦距，如图可知FAB∽FCD，AB=2R2，CD=2R1，则有

■=■，

即■=■，

所以有f=■.

（2）当光屏与透镜间距离d小于f时，光路如图9所示，此时有FA′B′∽FC′D′，

根据第一问的思路可得

■=■， f=■，

即该透镜的焦距为■或■.

例8 小明和小红在课堂上测量了老花眼镜的焦距.他们联想到：能否测量近视眼镜的焦距呢？于是，他们在课后对此问题展开了探究：

（1）他们想到近视眼镜属于凹透镜，回忆了凹透镜对光线的作用，请你帮他们完成图10中的光路图.

（２）如果要利用太阳光测量近视眼镜的焦距，他们还需要选择什么器材？

（3）请你在方框里帮他们写出实验的操作步骤（也可以画出示意图说明）.

（4）根据你的设计，近视眼镜焦距的表达式是： .

（5）若要使焦距测量得更准确些，在操作中要注意： .

解析 这是一条典型的光学作图的几何题，整个题目看似是光学，实则是一条几何相似形的题目.解题的关键如下：

（1）与主光轴平行的光线经凹透镜折射后折射光线的反向延长线过焦点，根据凹透镜的三条特殊光线很容易完成光路图.

（2）如果要利用太阳光测量近视眼镜的焦距，还需要的器材是刻度尺和白纸.

（3）做实验时，首先将近视眼镜正对着太阳光（即光线与透镜是垂直关系），白纸与眼镜平行，用刻度尺量出白纸上亮环的直径为D，再量出白纸到眼镜的距离L和玻璃镜片的直径d.（如图11所示）

（4）由三角形相似关系可得

■=■ f=■.

光路图如图12所示.

步骤：①将近视眼镜正对着太阳光，白纸与眼镜平行；

②用刻度尺量出白纸上亮环的直径为D；

③量出白纸到眼镜的距离为L；

④量出玻璃镜片的直径为d.

如图13所示.

例9 请你设计两种不同的方案，测出一棵大树的高度，要求画图说明，并写出简要的实验步骤和树高的计算公式.

解析 分析题意可知大树的高度无法直接测量，因此，要想办法利用初中所学的间接的方法进行测量.对于这类问题，通常会利用数学上的相似三角形的对应边的比例关系来处理.我们巧妙地构建两个相似三角形，一个的边长比较短可以直接测出，而使得另一个的边长含有树高即可.

方案1：利用光的直线传播

采用的器材：一根长度已知的长木杆、卷尺

步骤：

（1）如图14所示，因为太阳光是沿直线传播的，在树下形成了大树的影子，树高AB、影长BC及太阳光构成一个直角三角形ABC，用卷尺测出大树影长BC.

（2）如图15，将长度已知的木杆A′B′竖立在阳光下，根据光的直线传播测出此时杆的影长B′C′，此时木杆及影长与阳光构成另一直角三角形A′B′C′.

由相似形的比例关系可知

ABC∽A′B′C′，

可得■=■.

由此可得树高AB=■BC.

方案2：利用光的反射定律（平面镜成像）

采用的器材：小平面镜和一把卷尺

步骤：如图16所示，将小平面镜放在水平地面上，人从远处向平面镜走近，在刚好看到树顶在镜中的像时，记下人的位置，然后用卷尺测出人到平面镜O的距离OD、树到镜的距离BO及人身高CD.由光的反射定律及几何知识可知AOB∽COD.因此■=■，AB=■CD.

例10 如图17所示，点光源S距平面镜MN为5cm，在平面镜中的像为S′，当将平面镜绕O点（从S作MN的垂线与MN的交点）顺时针转动45°角时（图中的虚线为M′N′的位置），S在平面镜中的像为S″，求S′与S″之间的距离.

解析 利用数学的直角坐标系画图后解答，问题就会简单得多，把图按照题目所给出的要求画好.首先画出S点在镜面转动前后的像的位置，然后可以根据平面镜的物象关系，再由几何知识求出两个像的距离.

在O点以MN为横坐标建立直角坐标系，那么S点的坐标是（0，5），根据镜面成像原理，S点关于MN对称点的像S′的坐标是（0，-5），当MN转过了45度之后，位置变化到了M′N′，这时候作S关于M′N′的像，得S″的位置，显然是（-5，0），根据勾股定理关系，有

S′S″=■=5■cm.

例11 如图１9所示，ABBC，AB

=100m，甲从A以v1=8m／s的速度沿AB前进，乙从B以v2=6m／s的速度沿BC前进，求两者相距最近时的距离PQ和A到P所需时间.

解析 依题意可知，两物体间距PQ正好是直角三角形的斜边，按勾股定理可以列出两物体间距与它们运动路程间的关系式，再根据关系式代入就可求得两者间距离的最小值.

由图可知，BPQ为直角三角形，则由勾股定理可得

PQ2=BP2+BQ2=（100-8t）2+（6t）2

=100（t-8）2+3600，

整理，得PQ=■.

根据二次函数图像的性质可知当t=8s时，PQ最小，代入可得到其最小值为60m.

答：两者相距最近时的距离PQ为60m，A到P所需时间为8s.

三、杠杆类

例12 如图20所示，轻质杠杆OA中点悬挂一重G=60N的物体，在A端施加一竖直向上的力F，杠杆在水平位置平衡，则F= N；保持F的方向不变，将杠杆从A位置匀速提到B位置的过程中，则力将 .（选填“变大”“不变”或“变小”）

解析 由图可知，动力臂与阻力臂之比为2∶1，根据杠杆的平衡条件F1l1=F2l2，得出F=30N；将杠杆从A位置匀速提到B位置的过程中，根据相似三角形的对应边成比例可以发现，动力臂与阻力臂之比不变，始终等于2∶1，因为重力不变，所以力F也不变，仍然为30N.

例13 如图21所示的均匀杆重20N，在A点用绳子拉住使它保持水平，绳子的拉力等于 N.重力G和拉力F的力臂之比等于 .

解析 先过支点O作出拉力F的力臂，根据直角三角形30°顶角的几何知识可知，F的力臂长度为OA的一半.因为杆是均匀的，所以重心就在OA的中点，重力G的力臂也为OA的一半，即重力G和拉力F的力臂之比等于1∶1.根据杠杆平衡条件，重力G和拉力F大小也相等.因此，绳子的拉力等于20N.

例14 如图22所示，互成90°角重量不计的硬棒，在B点挂重为200N的物体，要使棒在水平位置平衡，则在A点最小作用力是 N.

解析 重量不计的硬棒可看作杠杆，因为棒在水平位置平衡，要想使作用在A点的力最小，那么力臂应该最长，如图23所示，最长力臂为OA，则OA=■=5cm，此时作用在A点的力的方向与OA垂直斜向下.再根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2得

200N×4cm=F×5cm，

解之得F=160N.

即作用在A点的最小作用力为160N.

例15 将粗细均匀的长直铁棒AC在B点折成互相垂直的两段，并将端点A用线悬挂，静止时，AB段恰与竖直方向成45°角，如图24所示.求铁棒AB与BC的长度之比.

解析 这个题目是一条很难的综合型分析题，解答本题要运用等效的物理思维.核心问题是求由两规则部分构成的物体的重心问题，解这类问题的方法是先假定支点在整体的重力作用线上，然后把这两部分的重力分别当成动力和阻力，用杠杆的平衡条件就可求出物体的重心.

设铁棒单位长度的质量为ρ，AB与BC的长度分别为l1和l2，以A点为支点，根据杠杆的平衡条件和密度的知识可得

■=ρl2g（■-l1sin45°），

即l12=l22-2l2l1，则铁棒AB与BC的长度之比为■=■-1.

例16 如图25所示，均匀杆长L为4m，重G为9×102N，杆的A端可绕地面上的固定点转动，B端放在一个人的肩上，人的肩高1.5m，且用力方向始终与杆垂直.当人向左缓慢走动，使杆逐渐竖起，人肩上的压力将如何变化？

解析 以杆为研究对象，它是绕A点转动的杠杆，因杠杆转动缓慢，故在竖起的过程中任何一位置，都可以认为杠杆处于平衡状态，故杆对肩的压力大小等于肩对杆的作用力.

肩对杆的作用力为F，作用点在C，根据杠杆的平衡条件有Gl1=FAC.

根据三角形对应边成比例的知识可知

■=■，

则l1=■，

所以■=FAC ①

将人看成竖直站立，由勾股定理可知

AC 2=l22+（1.5m）2 ②

联立①②两式，并将G、L的数字代入其中，可得

Fl22-1.8×103l2+2.25F=0 ③

上式是关于l2的一元二次方程，根据数学中二次函数的最值解答的方法，通过根的判别式Δ=b2-4ac可求得肩对杆的作用力的最大值Fmax.

因l2一定有正数解，所以

Δ=b2-4ac≥0，

即Δ=（1.8×103）2-4F×2.25F≥0，

F≤600，

则Fmax=600N.

将Fmax=600N代入方程式，得

L2=1.5m，

即当L2=1.5m时，力F最大，也就是说，在杆竖起的过程中，人肩上的压力先变大后变小.

例17 如图26所示，用一根长3m的绳子拉住一根4m高的竖直电线杆，绳的一端系在电线杆的A点，另一端系在地面的木桩B上，电线杆上端C拉有水平的电线，电线杆上端受到水平电线的拉力为T，问A点多高时，绳子受到的拉力最小.

解析 由题意并结合图形可得，可以将电线杆看作一个可绕D点转动的杠杆，则电线和绳子的拉力可分别视为动力和阻力，由于绳子拉力的力臂相对复杂，所以可以在ABD中结合三角函数来处理问题，列出彼此相关的函数表达式，从而确定最小拉力时的一些量应满足的条件.

电线杆上端受到水平电线的拉力为T，T的大小一定；牵上绳子的目的是为了不使电线杆由于拉力T的作用而倾倒，所以可将电线杆看做可绕D点转动的杠杆，如图27所示，根据杠杆平衡条件，有

Tb=Fysinα，

而sinα=■，a=■，

Tb=Fy■=■×■=■×■，

所以可得

F=■×■=■×■，

当（x-y）2=0，即x=y=■=■，

根据三角形直角边和斜边的关系可知，绳子与地面夹角为45°.

A点距地面高度为■m时，拉力F最小，最小拉力为Fmin=■=■T.