有“变”才有“活”

摘 要 有效实施变式教学，不但能较好地培养学生的数学思维能力和应变能力，而且能够有利于遏制“题海战术”，提高复习效果，显著提高数学成绩，促进轻负担高质量的素质教育的落实。本文结合初三数学复习实践，探讨了有效实施变式教学提高复习教学效果的问题。

关键词 数学复习 轻负高质 变式教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）13-0071-03

分析近年来各地中考数学试卷，明显发现比较侧重考查学生的探究能力，增加了考查学生思维深度和广度的题目。因此，在初中数学复习教学中应该从一些简单的题目入手，设计一些题型多变的例题和习题，有效实施变式教学，提高学生辨别能力，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，帮助学生将所学的知识融会贯通，提高数学思维能力，遏制“题海战术”的弊端，提高复习效果，促进轻负高质的实现。

一、巧用变式，奠定双基

1.语言变式，夯实基础

教师在学生初步感知数学知识后，在复习这些数学知识时，需要引导学生对不同的数学语言表述方式进行熟练转换，从而加深对数学知识的理解。例如在复习“等腰三角形三线合一”时，由于学生对定理所阐述的意义理解不深，在推理过程中常出现“张冠李戴”的现象。从本质上看实际上是学生对三种语汇互译能力有欠缺导致的。我们可以进行如下数学语言变式教学：

教师将下面九条语言形态分别制成九张卡片，用磁铁张贴在黑板上，拿取其中任意一张，请同学找出其它相应的两张卡片。相对应的三种自然语言如下：

⑴在等腰三角形中，顶角在平分线垂直平分底边。

⑵在等腰三角形中，底边上的中线也是底边上的高、顶角角平分线。

⑶在等腰三角形中，底边上的高平分底边和顶角。

其对应的三种图像语言如下：

相对应的三种符号语言分别对应如下：

⑴在ABC中，如果AB=AC，∠BAD=∠CAD，则有ADBC，BD=CD；

⑵在ABC中，如果AB=AC，BD=CD，则有∠BAD=∠CAD，ADBC；

⑶在ABC中，如果AB=AC，ADBC，则有BD=CD，∠BAD=∠CAD。

如此反复地练习，学生很快掌握了这条定理的三种语汇互译，为今后类似问题的解决打下了基础。教师应该注重指导学生将现实问题中的文字语言转换成数学的文字语言，再将数学的文字语言转换成数学的符号语言或图形语言。这样坚持进行“语言”变式教学，有利于学生练好数学语言的基本功，提高语言理解能力，进而有效培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.巧用变式，自主建构

复习课中用直观化的形式再现知识，那是一种复制式的复习，而适当的运用变式教学能够激发学生的好奇心，用“新瓶”既装“旧酒”，又调配“新酒”，充分调动学生的积极性，让学生主动参与到“知识探究、自主构建”的过程中来。例如一位教师开设了一节“平行四边形单元复习”汇报课。他做了如下的设计。

【画一画】有一天，刘红同学不小心撕去了一张平行四边形纸片，巧的是刚好从A、C两个顶点撕开（如图1所示）。你能帮她补全平行四边形吗？

问题刚一提出，许多学生就跃跃欲试，想表达自己的画法。

方法1：过点A作BC的平行线AE，过点C作AB的平行线CF，交AE于点D，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；

方法2：过点A作BC的平行线AE，并在AE上截取AD=BC，连接CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

方法3：连接AC，取AC的中点O，连接BO，并延长到点D，使BO=DO，再分别连接AD、CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

方法4：分别以点A、 点C为圆心，以AB、BC为半径画弧，两弧交于点D， 连接AD、 CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；……学生用不同的方法补全了平行四边形，并完成了如下表格的填写：

……

以问题为出发点，唤起学生对知识的回忆，把学生的注意力吸引到复习教学中去，让学生主动参与到“知识探究、自主构建”的过程中来。问题情景唤起了学生对平行四边形的判定方法的回忆，学生积极投入表格的填写。通过填写表格，学生对平行四边形的性质与判定有了整体性的认识，在学生的头脑中烙下了清晰的“储藏图表”，内化成为学生自己的知识结构，让学生感觉到复习不再是知识点的罗列。这样的变式教学复习，既使学生兴趣盎然，又使学生借助表格把所学的零散知识系统化和条理化，进而有效帮助学生自主构建起自己的知识网络，提高了复习课堂的教学效果。

二、变式解题，提炼方法

有些教师经常出现的误区是：在复习课上倾向于多讲复杂的、难度大的综合题，而没有深入引导学生自己去探究解题的方法，及时总结解题的规律，使得学生做了大量题目而数学思维并没有提高多少，导致复习效果不尽如人意。教师应该精心选取比较典型的一题多解、一题多变和多题归一的题目，组织学生分析讨论，激发学生问题解决的兴趣。通过变式解题，促进学生思维发散，加深对所学知识的理解，促进学生探究能力的提高和解题思路的拓展。

教学片段1：在“一元一次方程”复习设计实际问题：

我们学校准备组织七年级学生去实践基地进行社会实践，如果租用45座位的客车，则有15人没有座位，如果租用同样数量的60座位的客车，则除多出一辆外，其余的车恰好坐满。

⑴问七年级共有学生多少人？

⑵已知用45座位的客车每日租金为每辆250元，60座位的客车每日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？

分析：对于第⑴小题引导学生用两种不同的方法来解决。方法一，设有x辆车，那就可以用两个不同的式子来表示七年级学生人数，抓住人数不变列方程。方法二，设七年级有学生x人，那就可以用两个不同的式子来表示车的辆数，抓住车辆数不变列方程。

解决实际问题是学生普遍感到困难的地方，主要原因在于不能寻找出相关的数量关系，或者即使找到了有关数量关系，也不知道每个数量关系到底能起到什么作用。教师应该根据班级学生的学习实际，选取紧密贴近生活而又比较典型的实际问题进行问题解决教学，有效引导学生进行分析讨论、发现与归纳，自主建构起“表示同一个量的两个式子相等”这样一个能普遍解决实际问题的等量关系。这样的变式教学过程能够有效引导学生进行“一题多解”，深刻感悟数学学习方法，从中提炼出常用的数学思想方法，既激发了学生学习的积极性，又提高了复习效率，何乐而不为呢？

教学片段2：“概率”复习课

例1.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I，从3个口袋中各随机地取出1个小球。

（1）取出的3个小球上，恰好有1个元音字母的概率是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

分析：这个问题中有3个独立的条件，即甲、乙和丙三个口袋，将每个口袋中的小球2个、3个、2个分别看成各个元素。从3个口袋中各随机地取出1个小球。可用下面的树形图表示：

根据树形图可以看出，所有可能出现的结果是12个，这些结果出现的可能性相等。

⑴只有一个元音字母（记为事件A）的结果有5个，所以P（A）=；

⑵全是辅音字母（记为事件B）的结果有2个，所以P（B）==。

例2.甲、乙、丙三人打乒乓球。由哪两人先打呢？他们决定用“石头、剪刀、布”的游戏来决定，游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种，规定“石头” 胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”， “布”胜“石头”。问一次比赛能淘汰一人的概率是多少？

分析：此题中的甲、乙、丙三人相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每人每次可做“石头、剪刀、布”， 相当于例1中每个口袋都放3个标号不同的球。

例3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性大小相同，当有三辆汽车经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

（1）三辆车全部继续直行； （2）两辆车向右转，一辆车向左转； （3）至少有两辆车向左转。

分析：这个问题中的三辆汽车相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每辆汽车都有直行，左转或右转3种可能，相当于例1中每个口袋都放3个标号不同的球。

例4.在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次。

⑴若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图说明）

⑵若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由。

分析：这个问题中的小王、小丽、小华3人，相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每个人都有把踺子踢到另外两个人的可能，相当于例1中每个口袋都放2个标号不同的球。对于第⑵小题，要进行分类讨论。

在“概率”的复习课中设计以上四个例子，说明若在一个问题中存在着几个相互独立的条件，在每个条件中都有几个不同的元素，在这些独立条件中各随机抽取一个元素，求组成这些元素符合结论的概率，用树形图解决比较方便。在解题后通过反思和归纳还发现其实这四个例子可以归一成一题， 这一过程引导学生感悟“多题归一”的数学学习方法，从中提炼数学思想方法，就能“以不变应万变“，使学生的解题能力得到真正的提升，这也有助于复习效率的提高。

三、紧扣考纲，突出重点

问题变式要围绕教材重点、难点展开，防止脱离中心，主次不分，要与“主旋律”和谐一致。围绕重点进行变式教学，可以避免平均使用力量，做到脉络分明，达到带动全局的预期目标。所选范例必须具有典型性：一要注意知识之间的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性和深刻性。

例如在“三角形”单元复习课中，三角形全等证明是一个重点，可以从下面的问题出发进行变式教学。已知：如图，C为线段AB上的一点。ACM、CBN是等边三角边。求证：AN=BM。

大多数学生都能完成这道题的证明，但大多数学生完成了本题的证明后，就不再深入地思考还能得到其他别的结论。如果在原题的基础上进一步设问：“根据现有图形，你还可证哪些三角形是全等的？试写出证明过程。”这样，原命题就改变成为一道开放性问题.经过努力，多数学生还是能够证得ACF≌BCG。在完成了这道开放性探索性问题后，学生既锻炼了思维，又有了体验成功的愉悦感受。

四、主动参与，体验成功

问题变式教学中，要让学生主动探索，教师不可包办代替，在教师作出示范性变式时由学生寻求结论，不仅如此，教师还要留下“空白”，留下思维的空间与时间，让学生自我尝试变式，并通过学生之间的合作讨论，真正突出学生的主体地位。例如在复习“多边形的内角和”这节时，为了了解学生知识掌握情况，我试着让学生自己编题进行小测验，效果明显。问题：围绕n边形内角和为180？n-2），请每位同学自编自解三个习题。同学们积极踊跃得到如下许多习题。

编一：求十二边形的内角和？

编二：求十边形的外角和？

编三：已知一个多边形的内角和是1080埃蠖啾咝伪呤？

编四：已知一个多边形的内角和是1000埃蠖啾咝伪呤？无解）。

编五：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形边数。

编题活动激发了学生学习的积极性，使得课堂具有浓厚的研究氛围，学生自编题型覆盖本节课所有知识点，还能够引发出耐人寻味的新问题。

我们都知道：数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”。教师适时适度地实施变式教学，能够给学生提供数学学习的桥梁，比较自然地引导学生从已知水平向未知水平过渡。有效的“变式”教学，能够避免题海战术的弊端，减少学生低水平的重复练习，从而有可能达到数学复习教学轻负高质的理想效果，并且能够培养学生思维的广阔性、深刻性和灵活性。当然，对概念、公式、定理的教学，特别是解题教学，实施变式教学效果显著，但对原始概念和数学公理的教学不宜采用。并且变式教学在开始实施时会有一些困难，要在反复理解和运用中逐渐内化形成，绝不是一朝一夕可以完成的，教师需要循序渐进地推进。

参考文献：

[1]杨象富，陈振宣.新课标初中数学解题方法全书[M].上海：上海远东出版社，2005，（05）.

[2]冯伟明.变式教学在初三数学课堂中的运用[J].教育导刊，2009，（9）.

[3]叶影华.运用数学变式训练 提高课堂教学效率[J].新课程研究中旬刊，2010，（5）.