合理的方法 不合理的结论

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）08-0145-01

“圆的面积”是小学几何教学中的一个难点。对于这个教学难点，传统教材一般采用以下处理方法：将圆平均剪成若干个扇形，再拼成近似的长方形，然后根据长方形面积公式推导出圆的面积公式。这种“割圆成方”的处理办法，多年来已经成为推导圆面积公式的经典方法。

苏教版五年级下册“圆的面积”的内容安排较传统教材有了明显的变化。在 “割圆成方”推导公式之前，添加了数方格估算圆面积的教学环节，这一变化令人耳目一新。让我们先看一下教材的处理方式：

然后，在填表的基础上引导学生讨论得出结论：

教材中没有明确“数方格”的方法，因此学生自然联想到五年级上册的数方格方法：“不满整格的，都按半格计算”，依次数出正方形的面积、1/4个圆的面积，并推算出整个圆的面积，然后分别算出圆面积约是正方形面积（半径的平方）的倍数，并填入下表：

从表中我们不难得出：圆的面积是它半径平方的3倍少一些。很显然，这个结论是错误的，它与教材给出的结论“圆的面积是它半径平方的3倍多一些”产生矛盾。对此，我们感到很困惑：“数方格”估算圆面积，我们运用的是教材中的方法，计算过程也没有问题，为什么看似合理的方法却得出了不合理的结论呢？

带着这个疑问，我们查阅了有关资料，了解到“数方格”估算面积有两种常用的方法：一种是不满整格的，一律按半格计算，也即五年级上册教材给定的方法；另一种是不满整格的，互相之间大约凑成整格计算。在第一种方法估算圆面积得出一个不合理的结论后，我们试着采用第二种“数方格”的方法去估算，却得到了一个意外的收获。现以例7的第一个圆为例进行对比分析：

从图中可以看出，1/4个圆中不满整格的有7个，按照第一种方法“不满整格的，一律按半格计算”，通常把它合并成3﹒5个格子，再加上整格共有8+3﹒5=11﹒5个格子，由此我们可以推算出圆的面积约是11.5×4=46（平方厘米），然后算出圆面积约是正方形面积（半径的平方）的倍数：46÷16≈2.88（倍）。如果采用第二种方法：“不满整格的，互相之间大约凑成整格计算”，这样2号格和3号格、5号格和6号格可以凑成2个整格，1、4、7号格都接近整格，大约能凑成2﹒5个格子，一共可得到2+2﹒5+8=12﹒5个格子，圆的面积约为12﹒5×4=50（平方厘米），再算出圆面积与正方形面积（半径的平方）之间的倍数：50÷16≈3﹒13，与教材给出的结论“圆的面积是它半径平方的3倍多一些”是一致的。

第一个圆的估算，出现一致的结论让我们很兴奋。我们继续估算例题7的后两个圆，并重新整理如下：

让人惊异的是，采用第二种“数方格”的方法对例7中的三个圆进行估算，得出的结论竟和教材上的结论完全一致。我们将这两种方法进行对比研究，发现后一种方法估算的精确度要比前一种略高一些，正是这微小的差异导致了教学中两种截然相反的结论。

写到这里，我们觉得教材再版时，如能对圆的面积探究过程中的“数方格”方法作出明确的规定：不满整格的，互相之间大约凑成整格计算，这样学生就不易受五年级上册“数方格”方法的影响，从而能顺利推导出“圆的面积是它半径平方的3倍多一些”的正确结论。

时至今日，“圆的面积”的教学已成过去，但我们仍在反思其中的深刻教训。虽然教材自身存在着一定的疏漏，但这种疏漏造成的影响不是不可以避免的。试想一下，在上述例7的教学中，如果我们能在课前将例题细致地研算一遍，及时发现教材中存在的疏漏，及时选用合适的“数方格”方法，课堂上还会误推出与事实相反的结论吗？因此，记下这段教学经历，就是为了时时提醒自己：有些时候，合理与不合理，其实就掌握在我们自己的手中。