浅谈“条件概率”教学设计

【摘 要】 条件概率是高中概率教学的一个难点，学生难懂，教师难教，其教学引起了教师们的重视，诸多研究正逐步展开. 其中，王志军老师的《“条件概率”教学设计》一文从实践层面，给出了这一内容教学的诸多建议，颇有价值. 笔者根据其建议，结合自己的教学实践，再深入谈谈对条件概率教学设计的三点建议，以就教于同行.

【关 键 词】 条件概率；几何概型；古典概型

一、设置情境，引入概念

学生在必修三已经学习过古典概型和几何概型的概念，能够准确理解随机试验、随机事件的含义，并且能够灵活运用分类或分步原理求解事件包含的基本事件的个数，这为本节学习条件概率做好了知识准备. 但条件概率对于学生是一个全新的概念，根据随倩倩老师的研究《评估学生条件概率学习的困难》发现，学生在对条件概率的理解上存在许多错误的认知，如“因果偏见”、“时间顺序偏见”、混淆P（AB）和P（AB）、混淆限制条件等[1]. 因此针对学生出现的问题，本文主要从“条件概率”教学中易出现的三个问题入手，再次深入探讨了三个问题的解决方法.

从教师的角度分析，本节教学易出现如下问题：

1. 推导条件概率公式化定义的过程并不完备，此处王志军老师也有提出，单纯从古典概型角度的阐述会略去对几何概型条件概率的研究[2]；

2. 仅指出0≤P（AB）≤1，教师可对P（AB）=0和1的特殊情况做适当处理，加深学生的理解；

3. 缺少对条件概率本质的阐述和直观的图形认识，抓不住概念的本质.

对此，教师可以根据新课程的要求，创设适当的问题情境，使学生参与到解决数学问题和发现数学规律的活动中去，经历条件概率公式产生的过程. 例如：

例1：箱子里有红、黄、白三个小球，现由甲、乙2名同学依次无放回地摸球，问乙同学摸到红球的概率是多少？

解：B=“乙同学摸到红球”，则所有可能发生的结果记为Ω{白红，白黄，红白，红黄，黄白，黄红}.

由古典概型，得P（B）

问题1：如果已知甲没有摸到红球，那么乙摸到红球的概率又是多少呢？

我们分析问题1，已知甲在没有摸到红球的条件下去求乙摸到红球的概率，这就是一个条件概率问题. 现在给出条件概率定义.

定义：一般地，若有两个事件A、B，已知在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记做：P（AB）.

问题1 （方法一）

解：设事件A=“甲没有摸到红球”，事件B=“乙摸到红球”，则A={红白，红黄，黄白，黄红}为我们所要研究的对象.

一方面，由古典概型，P（BA）

另一方面，由古典概型P（AB），代入上式，得到一个与计数无关的更为一般的公式：

这个公式就是条件概率公式，其中P（AB）表示事件AB同时发生的概率. 因此问题1还可以直接用条件概率公式求解.

问题1 （方法二）

说明：在问题1的方法二中，我们用条件概率公式 P（BA）=进行解答，清晰明了，言简意赅，不仅加深学生对概念的理解，而且激发学生对条件概率公式灵活应用. 接下来我们再来看一个例题：

例2：如图1，边长为3的大正方形被平均分成9个部分，向大正方形内随机投掷一个点（投中且不考虑边界），记为Ω，设投中左上角的小正方形为事件A，投中阴影部分为事件B，求P（B）和P（BA）.

另一方面，在几何概型中，若以m（A），m（AB）分别记事件A，AB所对应点集的测度（包括长度、面积和体积），且m（A）>0，则有P（AB）=，P（A）=.

同样得到P（BA）

在一般情况下，我们把这个算式作为条件概率的定义.

一般地，设A、B为两个事件，P（A）>0，称P（BA）=为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.

说明：问题的设置是为了使学生产生“心理缺口”，激发对本节的学习兴趣. 同时，引例“摸球”来源于教材，做出改编的目的是为了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符号的干扰，给学生更加清晰直观的认识. 从古典概型和几何概型两个方面进行归纳，引出条件概率的概念，目的是使学生体会公式的合理性.

二、抓住本质，深入理解

问题2：为什么P（B）≠P（BA）呢？

从韦恩图的角度，这个公式可以理解为：已知样本点落在了A中（事件A已经发生），求落在B中（事件B发生）的概率. 由于样本点已经落在A中的条件下，又要落在B中，故要落在AB中（即事件AB发生）.

在这种观点的理解下，原来的样本空间Ω缩减成为了事件A所对应的样本空间，原来事件B所对应的样本空间缩减成为了事件AB所对应的样本空间.[3]

可见，P（BA）与积事件P（AB）是不一样的，且P（BA）=.

P（B）≠P（BA）的原因是样本空间发生了变化.

问题3：样本空间缩小后，P（BA）一定会大于P（B）吗？

例3：（2011年湖南卷）如图3，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.

将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则

说明：问题3的设置是为了纠正学生常见的认知错误，即认为样本空间缩减后的概率就一定会变得比原来大. 但事实上，P（BA）不一定大于P（B），搞清样本空间的变化才是把握条件概率的关键.

【参考文献】

[1] 随倩倩. 评估学生条件概率学习的困难[D]. 上海：华东师范大学，2012.

[2] 王志军. “条件概率”教学设计[J]. 中小学数学，2012（6）：34-36.

[3] 朱贤良. 把握“缩减样本空间”突破条件概率难点[J]. 河北理科教学研究，2015（1）：40-42.