随机变量及其概率分布复习导航

一、要点梳理

1.离散型随机变量X的概率分布

（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

（2）设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，且P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n，①，则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以将①用下表形式来表示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布.显然，这里的pi（i=1，2，…，n）具有性质：①pi≥0；②p1+p2+…+pn=1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率值的和.

2.两点分布

如果随机变量X的概率分布表为：X10Ppq其中0

3.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机变量X的分布列：P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN（k=0，1，2，…，m），其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N∈N*），并将P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，记为H（k，n，M，N∈N*）.

二、题型分析

题型一、离散型随机变量概率分布的性质

例1若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2-c3-8c试求出常数c.

解：由离散型随机变量分布列的性质可知：

9c2-c+3-8c=1，

0≤9c2-c≤1，

0≤3-8c≤1，解得c=13.

即X的分布列为：X01P2313评注：离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题：①通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概率，得出分布列；②求对立事件的概率或判断某概率的成立与否.

例2设离散型随机变量X的概率分布表为：X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的概率分布表；（2）|X-1|的概率分布表.

分析：利用pi≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X+1的值及其概率分布表；求|X-1|的值及其概率分布表.

解：由概率分布的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，m=0.3.

首先列表为：X012342X+113579|X-1|10123从而由上表得两个概率分布表为：

（1）2X+1的概率分布表：2X+113579P0.20.10.10.30.3（2）|X-1|的概率分布表：|X-1|0123P0.10.30.30.3评注：（1）利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.（2）若X是随机变量，则2X+1，|X-1|等仍然是随机变量，求它们的概率分布表可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出概率分布表.

题型二、求离散型随机变量的概率分布

例3甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数.求ξ的概率分布列.

解：ξ的所有取值为3，4，5.

当ξ=3时，表示甲连胜3局或乙连胜3局，则

P（ξ=3）=C33×0.63×0.40+C03×0.60×0.43=0.28；

当ξ=4时，表示前3局中甲胜2局，第四局甲胜或前3局中乙胜2局，第四局乙胜，则

P（ξ=4）=C23×0.62×0.41×0.6+C13×0.61×0.42×0.4=0.3744；

当ξ=5时，表示前4局中甲胜2局，第五局甲胜或前4局中乙胜2局，第五局乙胜，则

P（ξ=5）=C24×0.62×0.42×0.6+C24×0.62×0.42×0.4=0.3456.

ξ的分布列为：ξ345P0.280.37440.3456评注：根据不同情形进行分类，要充分理解ξ取每一个值的具体含义.

例4袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的概率分布表；（3）计分介于20分到40分之间的概率.

分析：（1）是古典概型；（2）关键是确定X的所有可能取值；（3）计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.

解：（1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）=C35C12C12C12C310=23.

方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件.

因为P（B）=C15C22C18C310=13，所以P（A）=1-P（B）=1-13=23.

（2）随机变量X的可能取值为2，3，4，5，取相应值的概率分别为P（X=2）=C34C310=130，

P（X=3）=C12C24C310+C22C14C310=215，P（X=4）=C12C26C310+C22C16C310=310，P（X=5）=C12C28C310+C22C18C310=815.

随机变量X的概率分布表为：X2345P130215310815（3）由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为P=P（X=3）+P（X=4）=215+310=1330.

评注：在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到概率分布表上来，这样所求的概率就可由概率分布表中相应取值的概率累加得到.

题型三、超几何分布问题

例5某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：A小区低碳族非低碳族比例1212B小区低碳族非低碳族比例4515C小区低碳族非低碳族比例2313（1）从A，B，C三个小区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列.

解：（1）3人中恰好有2人是低碳族的概率为P=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715.

（2）在B小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×15=4（户），

P（X=k）=Ck4C3-k16C320（k=0，1，2，3），

P（X=0）=C04C316C320=2857，P（X=1）=C14C216C320=819，

P（X=2）=C24C116C320=895，P（X=3）=C34C016C320=1285，

故X的分布列为：X0123P28578198951285评注：超几何分布的理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.如果随机变量X服从超几何分布，那么事件{X=k}发生的概率为P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m.

例6一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布表.

分析：（1）列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；（2）随机变量X服从超几何分布.

解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）=1-C210-xC210=79，得到x=5.故白球有5个.

（2）X服从超几何分布，其中N=10，M=5，n=3，其中P（X=k）=Ck5C3-k5C310，k=0，1，2，3.

于是可得其概率分布表为：X0123P112512512112评注：对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布表可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.

三、友情提示

掌握离散型随机变量的概率分布表，需注意：

（1）概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.

（2）要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正误.

（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）