关于两个随机变量和的分布类型的研究

【摘要】2.两个离散型随机变量和的分布 由于离散型随机变量是只取有限个值或者可列个值的随机变量，它们的和当然也只取有限个值或可列个值。所以两个离散型随机变量的和一定是离散型。且当 ...

摘要：在概率论的学习中，学生对于两个随机变量和的分布类型很迷茫，简单地认为两个连续型随机变量的和一定是连续型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型也非连续型。本文证明了一个离散型随机变量与一个连续型随机变量的和在一定条件下为连续型随机变量，发现两个连续型随机变量的和却不一定是连续型随机变量，而两个非连续型随机变量的和也可能为连续型随机变量.

关键词：随机变量；离散型；连续型；相互独立

中图分类号：G648 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）01-0020-02

1.在概率论的学习中，经常会遇到两个随机变量函数的分布，特别是两个随机变量和的分布

很多文献都着重研究如何求两个随机变量和的分布，找寻好的解题方法与技巧，而对于和的分布类型却很少讨论。而有很多学生误以为两个连续型随机变量的和一定是连续型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型也非连续型。本文主要分三种不同情况对两个随机变量和的分布类型进行分析.

2.两个离散型随机变量和的分布

由于离散型随机变量是只取有限个值或者可列个值的随机变量，它们的和当然也只取有限个值或可列个值。所以两个离散型随机变量的和一定是离散型。且当 与 相互独立时，有下面的结论：

定理2.1[1]设X，Y均为离散型随机变量且相互独立，其中X，Y的分布律分别为

则X，Y的分布律为

（1）

例1[2] 设随机变量X与Y相互独立，它们都取非负整数值，且分布律分别为

则X+Y的分布律为（2）

（2）式称为离散卷积公式.

例如：若，X与Y相互独立，则；

若，X与Y相互独立，则

3.离散型随机变量与连续型随机变量和的分布

定理3.1 设 为一离散型随机变量，其分布律为 （3）

而Y为连续型随机变量，其概率密度为且X与Y相互独立，则Z=X+Y也一定是连续型随机变量，其概率密度为（4）

证明 设Z的分布函数为。由于

组成一个完备事件组，又，则有意义，因此由全概率公式得

因为X与Y相互独立，则

（6）

因此（7）

从而

例2 设随机变量X的概率分布为

，Y服从（0，1）上的均匀分布，且X与Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数.

解： 的密度函数为 （8）

解 由于组成一个完备事件组，且X与Y相互独立，由定理3.1知，Z=X+Y为连续型随机变量，其密度函数为

于是Z=X+Y的密度函数为

（9）

4.两个连续型随机变量和的分布

引理4.1[4] 设（X，Y）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y），则Z=X+Y为连续型随机变量，且概率密度为 （10）

定理4.1[4] 设X与Y相互独立，均为连续型随机变量，其概率密度分别为fx（x），fy（yc）.则Z=X+Y为连续型随机变量，概率密度为

（11）

证明 因为X，Y均为连续型随机变量且相互独立，则（X，Y）也是二维连续型随机变量，且联合概率密度为，再由引理4.1知Z=X+Y为连续型随机变量，且（11）式成立.

例3[4] 设X与Y相互独立，且

.则Z=X+Y仍然服从正态分布，且（12）

由定理4.1知两个相互独立的连续型随机变量的和仍是连续型随机变量.但如果把定理4.1中的"X与Y相互独立"这个条件去掉.对于任意两个连续型随机变量的和结论是否成立呢？我们先看下面的例子.

例4 设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为12的0-1分布，

令求 的分布函数为

解 由于组成一个完备事件组，由全概率公式得

因此即Z为连续型随机变量.

分析：因为

所以Z+Y与Z-Y都不是连续型随机变量。而Z和Y都是连续型随机变量，也就是说两个连续型随机变量的和不一定是连续型，当然这时Z和Y不独立.我们再来观察，是一连续型随机变量，说明两个非连续型随机变量的和却有可能为连续型.

5.结论

以上分析表明，两个离散型随机变量的和是离散型，两个连续型随机变量的和不一定是连续型随机变量，而两个非连续型随机变量的和却有可能为连续型随机变量.对于一个离散型随机变量与一连续型随机变量的和在一定条件下为连续型随机变量.

参考文献

[1] 吴赣昌. 概率论与数理统计[M]. 北京：中国人民大学出版社，2006. 100-102.

[2] 张立卓，李博纳，许静. 概率论与数理统计解题方法与技巧[M]. 北京：北京大学出版社，2009. 94-113.

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