雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用

摘 要：为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列式，应用变量变换定理给出了二维随机变量函数概率密度的计算公式。但变量变换定理要求反函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两种方法对变量变换定理进行改进。

关键词：二维随机变量函数 概率密度 雅克比行列式 变量变换定理

一、分布函数法

用分布函数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的概率密度有分布函数法和公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然后再对分布函数求导，从而得到概率密度。

设（X，Y）为二维连续型随机变量，密度函数为f（x，y），函数g（x，y）是一个连续函数，Z是随机变量，有Z=g（X，Y）。一般地，若无特殊说明，总认为z=g（x，y）在点（x，y）处连续可微，且z关于x和y的偏导数均不为0。则从分布函数的定义出发进行计算，先求出分布函数

对分布函数求导，可得到Z的密度函数fz（Z）=Fz（Z）。

由于在计算过程中要在XOY平面上确定区域 与区域

的公共部分，且计算二重积分要根据曲线z=g（x，y）与D 的相对位置，分多种情况讨论后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量 ，虽然可以用分布函数法求得 的密度函数，但该方法计算量大，并且当U是分段函数时，计算过程较为繁琐。

二、变量变换法

为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积分变换给出二维随机变量函数的概率密度的新计算公式。

定理1 设（X，Y）为二维随机变量的概率密度为f（x，y），若函数u=g（x，y）， 满足下列条件：

（i）存在唯一的反函数 ， ；

（ii）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式不为零，即：

则随机变量U=g（X，Y）和 的联合概率密度为：

在定理1的基础上进行条件的改进，可以得到如下推论。

推论1（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y），Z=g（x，y） 是二维连续性随机变量 的函数，若y=y（x，z），则z=g（x，y）的分布函数为

证明当 时， ，则函数z=g（x，y）关于变量y严格单调递增，它的反函数y=y（x.z）和 一定存在，且 ，于是雅克比行列式

（X，Z）的联合分布为

由此可知（X，Z）的联合概率密度为 。所以

当 时， ，则

综上可知，当z为y的严格单调函数且 处处存在时，有

推论2（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y）， Z=g（X，Y）是二维连续性随机变量（X，Y）的函数，若x=x（x，z），则Z=g（X，Y）的分布函数为

推论2的证明过程与推论1的证明过程相类似，因此此处不再做推论2的证明。

下面用变量变换定理来推导二维随机变量和的分布。

例1 （和的公式）设 与 相互独立，其密度函数分别为 和 ，求

的密度函数

解 记 ，则 的反函数为 ，雅克比行列式为

，所以（U，V）的联合密度函数为

对p（u，v）关于v积分，就可得 的密度函数公式，即卷积公式。

从例题中可以看出，相比于分布函数法，利用雅克比行列式，通过变量变换定理来推导卷积公式，简化了计算步骤，而且思路清晰。

应用变量变换定理，不仅可以求出随机变量的联合密度函数，而且还可以推导出随机变量的边际密度函数，下面给出推论3来说明。

推论3 设（X，Y）为二维随机变量的概率密度为f（x，y），若函数u=g（x，y）， 满足下列条件：

（i）存在唯一反函数x=x（u，v），y=y（u，v）；

（ii）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式

则随机变量U=g（X，Y）的概率密度为

下面给出相应的例题，应用推论3求边际密度函数，通过判断密度函数变量可分离，从而证明两个随机变量相互独立。

例2 随机变量 ， 相互独立，且 ，

试证 ， 相互独立。

证明 的反・函数为 雅克比行列式 j=-u，所以

因为U，V的密度函数变量可分离，故U，V相互独立，我们知道

即U有密度函数：

因为 ，可知V的密度函数为

即V服从参数为a1，a2的 分布。

上述三个推论给出的公式，简化了求解二维随机变量函数的概率密度的过程，而且同一问题可以用不同的变换方法求解。利用这些公式通过求广义定积分即可完成对概率密度的计算求解，较分布函数法降低了积分重数，简化了计算的步骤，提高了计算效率。

三、变量变换定理的改进及推广

本文中的定理1（变量变换定理）是人们研究二维随机变量变换的方法之一。这个方法虽然能适用于一些变量变换的情形，但变量变换法仍然存在一定的缺陷，即变量变化法要求反函数存在且惟一，这个条件过强。我们有时候会遇到反函数是多值函数的情形。这个时候，定理1将不再适用。

为了克服变量变换法要求存在唯一反函数的不足，下面我们给出两种方法对变量变换定理进行改进。

3.1区域划分法

定理2 设（X，Y）为二维连续性随机变量，其密度函数为f（x，y），若函数 的反函数 存在但不唯一，记为 ，i=1，2，3，・・・ 。

将区域D分成若干个互不重叠的区域Di，使得在各区域di上反函数

存在且唯一，将推论1中相应的反函数记为 ，则 Z=g（X，Y）的分布密度为：

类似的，也可得出Z=g（X，Y）的分布密度为：

证明 若Z=g（X，Y）关于随机变量Y在区间 上为严格单调函数，则随机变量（X，Z）的联合分布为

所以（X，Z）得联合密度函数为

Z的概率密度为

同理可证当Z=g（X，Y）关于随机变量X在区间 上为严格单调函数时，

下面给出相应的例子，对定理2区域划分法进行应用。

例如，设Z=X2+Y2，则Z的分布密度

其中

由上可知，通过将区域D分成若干个互不重叠的区域Di，使各区域 di上反函数存在且唯一，通过对若干个小区间的积分求和，可得达到求解概率密度的目的。因此，区域划分法是可行的

3.2利用多值函数的一支进行变量变换

定理3 设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为p（x，y），其非零区域为DXY，如果函数

（1）

存在连续偏导数，且有一个反函数

（2）

设（2）式确定的p（x，y）的非零区域为 ；（1）式所确定的映射： ， Duv为 平面的子集；（2）式确定的变换的雅克比行列式

若

则（U，V）的联合密度函数为

证明 由二重积分的变量变换法

（3）

注意到 ，故

由（3）式

设注意到 ，又因为 ，符合概率密度函数的条件，则pu，v就是（U，V）的联合密度函数。

因此利用多值函数的一支，利用雅克比行列式，也可以达到求解概率密度的目的。

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].2 版.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 李思齐，李昌兴，柳晓燕.二维连续型随机变量函数的分布密度的计算[J].大学数学，2011，27（5）：162-166.

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[4] 刘小云.非1-1对应时连续型随机变量函数的概率密度[J].西安科技大学学报，2008.28（3）：584-588.