基于SWIFT法的约束优化问题的求解

【摘要】SWIFT法是在单纯形法和罚函数法的基础上发展起来的，可以有效的求解约束优化问题，且较罚函数法有更快的收敛速度，计算效率更高。本文详细介绍了SWIFT法的求解过程，并结合一维热传导的约束优化问题，验证了算法的有效性。

【关键词】SWIFT；约束优化；热传导

1.前言

SWIFT法即为序列加权因子法（Sequential Weight Increasing Factor Technique），是1975年由Sheela.B.V.和Ramamoorthy.P.提出的，它是在单纯形法和罚函数法的基础上发展起来的[1，2]。非线性规划中的单纯形法是1962年由Spendly，Hext和Himsworth首先提出的，1965年被Nelder和Mead所改进，它是一种用于无约束优化问题的多维直接搜索法。它与线性规划的单纯形法不同，它不是沿着某一个方向进行搜索，而是对n维空间中的n+1个点（它们构成一个单纯形的顶点）上的函数值进行比较，舍弃其中最坏的点，代之以新点，构成一个新的单纯形，这样来逐步逼近优化函数的极值点[3]。罚函数法是工程优化设计中应用较多的一类方法。它是求解约束优化问题的较好的算法，其基本原理是将约束函数转化后乘以罚因子与目标函数相加构成增广目标函数，将求解约束最优化问题的过程转化为连续求解若干个无约束极值问题的过程。在对增广目标函数进行寻优的过程中，罚因子逐步增大，最终收敛于原问题的解，得到约束优化问题的最优解[3，4]。SWIFT方法将单纯形法与罚函数法相结合，用罚函数法的思想处理约束条件，构造增广目标函数，在每步迭代过程中用单纯形法求出无约束极值，并由前次迭代结果给出惩罚因子。因其罚因子是依次变化的，故而称为序列加权因子法[4]。这样既可以将单纯形法的思想引入到约束优化问题的求解中，同时还避免了惩罚因子的任意选择，使得收敛速度更快，提高了计算效率。

本文首先详细介绍了SWIFT法的求解过程，然后以一维热传导模型为例，针对含有控制约束的情形，使用了SWIFT方法进行了求解，验证了算法的有效性。

2.SWIFT法

设最优化问题为：

现在我们使用SWIFT法来求解这个问题，其具体的计算步骤如下：

对于增广目标函数g(x,rk)，x∈Rn，在n维空间Rn中适当的选取n+1个点x(1),x(2),…x(n+1)，由它们构成初始单纯形。同时取初始惩罚因子为r0=1.0，令k=0。

1)计算初始单纯形各个顶点的函数值；

2)决定坏点x(h)和好点x(l)，即：

其中μ＞1为给定的扩张系数，可取μ∈[1.2,2]（扩张条件也可以换为gr≤gl）。

计算ge≤g(x(e),rk)，若ge≤gr，则令x(s)=x(e),gs=ge；否则，令x(s)=x(r)，gs=gr。

6)若gs＜gh，则x(h)=x(s)，gh=gs，这样新点x(s)和其它n个点一起构成一个新的单纯形，求出此时新单纯形的重心点，

以及单纯形各顶点到重心点的平均距离，

得到新单纯形，计算出新单纯形的各个顶点的函数值，然后如6）中先后计算出新单纯形的重心点以及单纯形顶点到重心点的平均距离d，然后取新的罚因子为

，k=k+1，返回2）继续计算。

若成立，则计算结束，取。

经过多次迭代，单纯形各顶点会越来越接近其重心，因而d越来越小，罚因子越来越大，最终直至满足规定的误差范围为止。

3.一维热传导约束优化问题求解

3.1 一维热传导的最优控制模型

考虑如下一维热传导模型的最优控制问题：

在一块均质钢板的一端通过调整环境温度u(t)，使得整块钢板的温度分布f(t,z)达到期望值f*(z)钢板所满足的热传导方程为

（10）

初始条件为：

其中u(t)表示无因次的环境温度，f(t,z)为无因次的钢板温度，z表示无因次的长度单位，t表示时间，ρ为热传导系数，在本例中ρ＝10。

取最优控制的性能指标为：

其中终端时间tf=0.4，期望温度f*(z)=0.2。

3.2 最优控制问题转化

在此控制约束设为0.1≤u(t)≤0.5。

首先使用参数最优化方法进行问题转化。将时间区间[t0,tf]分成四个等长的子区间，即时间节点[t0,t1,t2,t3,t4]=[0,0.1,0.2,0.3,0.4]控制量可以表示为：

其中ui(i=1,2,34)为各个阶段的控制变量，在此将其假定为常数。于是控制向量可以写为：

x=[u1,u2,u3,u4]T （16）

此时控制约束变为

0.1≤ui≤0.5,i=1,2,3,4 （17）

这样便将最优控制模型中关于u(t)的函数转化为了关于控制向量x的函数，即将动态的最优控制问题转化为了静态的非线性规划问题如果确定了最优参数x*，便可以确定最优控制u*(t)。

3.3 约束优化问题求解

使用SWIFT方法进行求解。取初始优化参数向量为

x(1)=[0.5,0.4,0.7,0.2]T，

x(2)=[0.6,0.5,0.4,0.3]T，

x(3)=[0.3,0.6,0.5,0.6]T，

x(4)=[0.8,0.2,0.6,0.5]T，

x(5)=[0.9,0.8,0.7,0.6]T，由它们构成一个初始单纯形，其相应的初始性能指标为J(1)=9.8793×10-4，J(2)=0.0014，J(3)=0.0135，J(4)=0.0094，J(5)=0.0295。

设定迭代截止误差在经过36次迭代后，得到最优化控制向量为x*=[0.4078,0.5000,0.4230,

0.1761]，对应的最优化性能指标为J*=2.1271×10-5。优化后的控制量示意图如图1所示，优化后的温度分布如图2中虚线所示（图中实线为期望温度分布）。

4.总结

通过算法介绍以及实例研究，我们可以看到，与基于极大值原理的求解方法相比，在用非线性规划中的SWIFT法求解约束优化问题时，不需要计算系统的伴随方程和性能指标的梯度，只需要求解系统的状态方程，整个求解过程易于实现。此外，与罚函数法相比，SWIFT法中的罚因子是由上一步的结果给出的，这样便克服了罚函数法中罚因子随意选择的缺点，使得收敛更加快速，计算量更小。

鉴于算法中需要构造单纯形的特点，SWIFT法更适用于优化参数较少的工程设计问题。

参考文献

[1]蔡宣三.最优化与最优控制[M].北京:清华大学出版社,1982,321-322.

[2]程斌,公茂法,张开如,魏敏.缓冲电路参数的SWIFT最优化方法[J].电子电力技术,1996(3).

[3]唐焕文,秦学志.实用最优化方法[M].大连:大连理工大学出版社,2004,142-147.

[4]基于SWIFT方法在电磁系统的应用研究[J].煤矿机械,2006,27(8).

[5]刘同仁.用参数最优化方法计算最优飞行轨迹[J].航空学报,1994,15(11).

[6]孙志忠.偏微分方程数值解法[J].北京:科学出版社.2005,86-96.

作者简介：吴玉晓（1984—），男，山东日照人，硕士，毕业于中国石油大学（华东）控制理论与控制工程专业，现供职于海洋石油工程股份有限公司。