基于学生需求,借助直观突显核心概念

一、教学背景

1.教学内容

“整数除以整数，商是小数”是“除数是整数的小数除法”中的一种类型。之前学习的“整数除法”与“小数的意义”是本课学习的重要基础，“除数是整数的小数除法”的算理、算法都与整数除法基本相同，是根据小数的意义将整数部分的运算向小数部分拓展。

人教版教材中“除数是整数的小数除法”共安排了3个例题：例1是小数除以整数，除到被除数的末尾没有余数;例2是整数除以整数，除到被除数末尾仍有余数，需要添0继续除;例3是被除数比除数小，整数部分不够商1的情况。

2.学生情况

本单元教学之前，笔者安排学生对整个“小数除法”单元的计算部分进行了预习，关于“除数是整数的小数除法”学生提出了如下一些问题：

（1）为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐？为什么不数小数点的位数呢？

（2）小数除法第一步看不看小数点？

（3）列竖式计算的过程中，商的小数点什么时候点？

（4）被除数位数不够时为什么能添0继续除？

……

从这些提问中可以分析出，学生不太能接受小数除法没能像乘法那样“先当成整数算，最后再点小数点”的计算方法，也不理解“商的小数点与被除数对齐”“添0继续除”等算法背后的算理。

基于此，本次教学调整了教材中例题的顺序，先教学例2“整数除以整数，商是小数的情况”。先教学这类小数除法，可以从有余数的整数除法过渡到小数除法，这样更有利于算理的理解、算法的迁移，同时也有利于学生更深刻地理解小数的意义――小数是比整数更精确的数。

二、教学目标

1.探究整数除以整数商是小数的小数除法，掌握计算方法。在观察、比较等活动中，丰富学生对除法的认识，深化对小数的意义的理解。

2.借助实物直观和图形直观，理解“添0继续除”“商的小数点与被除数的小数点对齐”的道理，能正确地计算整数除以整数商是小数的小数除法。

3.在分析方法、迁移运用的过程中，学会用联系的眼光分析问题的意识和能力。

4.初步养成乐于思考、言必有据的良好品质。

三、教学过程

1.引入

①回答问题并列出算式

师：将7支钢笔平均分给2人，怎么分？用算式表示。

生：7支钢笔平均分给2人，每人3支还余1支。算式是7÷2=3……1。

师：将7元钱平均分给2人，怎么分？用算式表示。

生：7元钱平均分给2人，每人可以先分到3元，剩下的1元换成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。（课件演示分的过程，教师板书：7÷2=3……1;7÷2=3.5）

②对比两题，引出课题

师：为什么都是7÷2，商却不同？

生：因为分的东西不一样。

生：分钢笔，剩下1支就不能再分了;分钱，剩下的1元可以换成10角继续分。

师：对于分钢笔的问题，可以用以前学过的有余数除法来解决，而分钱的问题则要用到新知识――小数除法来解决。这节课我们就来研究小数除法，体会一下今天学习的小数除法与之前学习的整数除法有什么联系和区别。（板书课题：小数除法）

（点评：在学生已有的认知经验中，“除法”与“平均分”有着密切的联系。在本课学习之前学生有比较丰富的整数除法运算经验。知道“平均分”的结果有“恰好分完”和“分完有剩余”两种情况，这是学生数学学习的认知基础。同时，学生们又知道货币可以“化整为零”，平均分完剩余“1元”，可以换成“10角”继续分，这是学生的生活经验。上面两个例子均使用了实物直观，其价值在于充分调动了学生的已有经验，为基于经验的迁移探究奠定了基础，也初步回答了学生课前的疑问。）

2.新课

（1）研究算法，追问算理

①学生尝试写竖式

师：将7元钱平均分成2份，经过了分―换―再分的过程，想一想，怎样用竖式表示出这些过程？

学生尝试写竖式;同桌交流竖式中的哪些部分分别表示了分、换、再分的过程。

②分析竖式，追问算理

学生展示竖式的不同写法，并说明竖式表示的分的过程。

师：大家写的竖式有很多相同点，比如都在余1的后面添了一个0，为什么要添0呢？

生：添0后，1就变成10了。

生：1除以2不够除，10除以2就够除了。

生：不对，应该说添0后，1就变成1.0了，就相当于把1元换成了10角。

师：这个0能添吗？

生：当然能添了，这是小数末尾的0，小数末尾添多少个0都行！

师：商5的前面为什么要点上小数点呢？

生：因为5代表的不是5个1，而是5个0.1。

生：5是10除以2算出来的，10角平均分成2份，每份是5角，是0.5元。

③板演竖式，规范写法

教师演示竖式的书写过程，说明计算过程中的小数点可以省略。

（点评：教师通过引导学生将生活经验与学习经验进行融合，平均分硬币的直观模型有助于帮助学生将“分―换―再分”这一平均分的过程，与竖式运算中的“除―添‘0’―再除”的过程建立起联系。“添0”就是“换钱”，就是化小计数单位。“大单位”不够分时可以“化小”计数单位（增加计数单位的个数），“够分了”再继续分。让学生尝试写竖式，也是将探究与思考的机会留给了学生，自主探寻课前的问题。学生通过试写、对比和分析逐步聚焦问题，抓住计数本质分析计算方法。实物直观模型较好地突显了除法中的“添0”就是“计数单位转换”这一核心。）

（2）巩固算法，深究算理

①巩固算法，尝试计算11÷4

师：（板书11÷4）这个算式表示什么意思？

生：把11平均分成4份，每份是多少。

师：11个1怎样平均分成4份呢？请你结合分的过程也可以模仿7÷2的竖式，尝试写一写11÷4的竖式。（学生独立思考，尝试写竖式计算11÷4，一生板演）

②解读竖式，演示分的过程

学生解读竖式的每个步骤，教师用课件演示平均分的过程。

③深入分析算理

师：为什么计算11÷4时，要添两个0？

生：个位余3，需要在十分位上添0继续除;十分位上又余2，就需要在百分位上添0继续除。

师：除到末尾有余数就在后面添0，添0是在改变什么？

生：添0，就让余数“变碎”了，变成了更小的单位。

生：计数单位小了，计数单位的个数就增多了，就够除了。（教师结合学生的发言，再次演示课件）

④总结算法

师：比较一下，计算7÷2与11÷4时，有什么共同点？

生：都是整数除以整数，商是小数。

生：除到最后有余数，需要点上小数点，添上0继续往下除。（教师补充课题：整数÷整数=小数）

师：对比一下，今天我们学习的小数除法与之前学过的被除数末尾有0的整数除法相比，有什么联系和区别吗？（出示如右竖式）

生：我觉得今天学的小数除法与整数除法差不多，只不过需要自己先补0再落下来继续除。

生：我补充，在添0之前要先添上小数点，商也要对应着点小数点。

（点评：在学生对这类小数除法有了初步感悟的基础上，再借助几何直观的演示，有利于帮助学生逐步形成对算法的抽象理解，并有助于形成对这一类计算的普遍性认识。从直观形式来看，执教老师所选用的方格图是学生认识小数时常见的直观模型，因此使用它对于学生理解计算过程中每一步所得到的结果以及数的变化有支撑作用。从直观的使用时机来看，是在学生尝试计算之后再进行几何直观的演示，这样的安排使直观模型发挥了验证结论和揭示过程的作用，有助于学生完成两个对接，即平均分的过程与竖式书写对接，理解直观与理解运算对接。）

（3）拓展延伸

①尝试计算5÷25

师：这里还有一道整数除以整数的题目，大家尝试用竖式计算一下。（学生独立尝试计算）

②讨论：商是5、0.5还是0.2？

师：我看到大家的计算结果有5、0.5和0.2，哪个不对，为什么？

生：不可能是5，5除以25表示把5平均分成25份，每份连1都分不到，所以不可能是5。

生：0.5也不对，0.5乘25不等于5。

③交流自主探究中的疑问

师：得出这些错误的商，是因为在计算过程中同学们有一些疑问，我们一起来交流一下。首先第一个问题就是5和25，哪个数写在里面，哪个数写在外面？

生：5是被除数，5写在里面，25写在外面。

生：无论什么数，都应该将被除数写在里面，除数写在外面。

生：我是这么写的，可是我不知道怎么用5除以25，5比25小啊？

生：5不够除，可以添0啊，50除以25就够除了！

生：不能只是添0，也要添小数点，而且写商时也要先写上0，点上小数点，商的2是2个0.1。

结合学生发言，教师演示课件如下：

④对比，补充算法

师：同样是整数除以整数商是小数，这道题却有些不同，哪儿不一样？

生：被除数比除数还要小。

师：在整数除法中，除了0作被除数，我们从没有遇到过这种情况。被除数比除数小，商最明显的特点是什么？

生：商一定是小数。

生：商一定小于1！因为被除数比除数小，每份一定不够1。

生：商肯定是零点几，被除数不够除，需要添上0和小数点才能除！

⑤巩固练习：3÷8

（点评：计算学习通常都是发现一个又一个“新情况”，并根据数学概念及运算意义“破解”一个又一个“新情况”的过程。学生学习小数除法时有两个重要的生长点：第一是“个位剩余可以继续分”，在前面的新课环节已经重点探讨。第二是“较小数除以较大数”的情况，这既是学生认知的生长点，也是本课学习的难点。教师在引导学生借助估算初步感知结果范围的基础上，再次使用几何直观帮助学生认可结果，并深入理解“先添小数点，再添继续除”的道理。）

3.总结质疑

师：这节课学习了什么？在原来学习整数除法的基础上，研究了哪些新问题？

生：研究了怎样将有余数的整数除法继续除下去。

生：研究了如果被除数比除数小怎么除。

师：你还有什么疑问吗？

生：是不是不断添0除下去，就一定能除尽？

生：不一定，我知道还有循环小数。

生：比如1÷3，3乘几也不可能得几十，那就总会有余数，怎么补0也除不尽！

……

四、教学点评

陈老师基于学情分析，对教学内容的顺序进行了调整，本课被作为“小数除法”单元的起始课。这样的安排，充分地调动了学生对除法意义以及小数意义的已有认知经验。引导学生通过经验迁移、方法迁移、认知迁移，在自主探究、对比和反思中探寻方法，辨析解惑，推广经验。整数除法中有关“平均分”的经验可以迁移到小数除法，整数除法中“从高位开始，一位一位地平均分”的方法可以迁移到小数除法，学生对小数意义的认知可以迁移到小数的运算中，即“如何算”（方法）取决于“数是什么样的”（本质）。这次尝试，也是充分考虑了学生的基础和需求，从实施效果来看是被学生接受的。并且能够层层深入地展开思考，对计算方法的认识逐渐清晰而完善。同时，本课的收获又为接下来继续研究“小数÷整数”“小数÷小数”奠定了新的认知基础。

小数除法是计算教学中难点比较集中的教学内容。学生对其方法也常存有困惑，这些都是教师在教学中应全面了解并给予充分关注和准确回应的。归纳起来，学生的困惑主要集中在“如何处理小数点”和“如何处理0”上。在本课设计中，陈老师重点借助“三次直观”突破认知难点，又通过“三次对比”不断突显核心概念。

1.三次直观：推动认知发展

直观模型能够让学生对数和运算更有“感觉”。在计算中，运用直观首先是一种“算法”，可以让学生直观地“看到”结果，进而认可竖式计算的结论。同时还能帮助学生理解计算过程，进而抽象计算（竖式书写）方法的重要支撑。本课中教师先后使用了三次直观模型。第一次是新课引入时的实物直观模型（“分钢笔”和“分硬币”），让学生认识到有时分完有剩余可以“换一换”再继续分的现象。第二次是初步探索计算方法后使用的几何直观模型（方格图），充分调动了学生对小数的认知经验。每个正方形代表“一”，平均分成10份，每份（一小条）就是;将一小份（一小条）再平均分成10份，每份（一个小正方形）就是……将认识小数时所使用的直观模型应用在计算过程中，有助于学生认可每一步的运算结果，并形象地理解计算过程中每一步的含义。第三次是计算5÷25（较小数÷较大数）这一难点时使用了几何直观模型，其价值首先在于让学生认定结果，其次是理解平均分的过程。总之，三次直观模型的使用价值，都基于学生的认知需求，有效推动了学生的认知发展。其形式不同，价值也不尽相同。

2.三次对比：突显核心概念

“数”与“运算”是紧密相连的教学内容，计算教学中算法和算理的沟通离不开 “计数单位”这一核心概念。但是核心概念是抽象的，不容易被学生感悟、理解和运用。因此教学中，教师需要设计有效的活动，促使学生不断形成对核心概念的深入理解。本课中，陈老师通过“三次对比”不断突显了核心概念的价值。第一次是对比两个“7÷2”的结果，平均分7支钢笔剩余1支就不能再分了;而平均分7元钱剩余1元还可以换成10角继续分。这次对比让学生自然而然地接受了“换小单位可以继续分”，虽然此时还是实际情境，但已为学生把握核心概念奠定了坚实的基础。第二次是对比小数除法与整数除法。小数除法中的“添0继续除”与整数除法中的“落0继续除”很相似，这种感受有助于学生算法迁移，同时又让学生感受到整数除法中“落完了”也就除完了。而小数除法只要需要就可以不停地“添0”继续除，这正是小数的性质所决定的。这次对比既突显了除法运算中“不断化小计数单位继续除”的“通法”，又突显了小数“没有最小计数单位”的核心概念，这些有助于提升学生运算能力。第三次是对比两类“整数÷整数=小数”的除法，一种是“被除数>除数”，另一种是“被除数<除数”，这组对比使学生主动地将估算与精算相结合，并进一步聚焦了“处理0”的难点问题。“该不该添0”“0该添在哪儿”等问题都指向于学生对“计数单位”“数位”等概念的深入理解。

总之，面对学生学习困难的内容，教师更要深入地分析学生需求，并紧紧地抓住核心概念开展教学，这有助于培养学生的运算能力，让每一个新内容的学习都是已有知识的发展点，同时也都能成为继续探究的新起点。

（北京小学 100053）